19 ESPAD 3

ESPAD III * TC 19

Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras.
•

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es
igual a la suma de cuadrados de los catetos.

• a 2 = b2 + c 2
Los triángulos sagrados
de los agrimensores egipcios ya
empleaban los triángulos de lados
3,4 y 5 y de 5,12 y 13 nudos para
hallar ángulos rectos.
Tres números enteros
que verifiquen el Teorema de
Pitágoras sedice que forman una
terna pitagórica.

a

c
b

Calculo de la hipotenusa
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En un triángulo rectángulo, los catetos
miden 3 y 4 cm. Hallar la hipotenusa.
Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2
a2 = 32 + 42
a2 = 9 + 16
a2 = 25  Hipotensa a = √25 = 5 cm
En un triángulo rectángulo, los catetos
miden 5 y 12 cm. Hallar la hipotenusa.
Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2
a2 = 52 + 122a2 = 25 + 144
a2 = 160  Hipotensa a = √169 = 13 cm

a

c
b

Calculo de la hipotenusa
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En un triángulo rectángulo, los catetos
miden 8 y 15 cm. Hallar la hipotenusa.
Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2
a2 = 82 + 152
a2 = 64 + 225
a2 = 278  Hipotensa a = √289 = 17 cm
En un triángulo rectángulo, los catetos
miden 7 y 24 cm. Hallar la hipotenusa.
Por el T. de Pitágoras: a2 = b2+ c2
a2 = 72 + 242
a2 = 49 + 576
a2 = 625  Hipotensa a = √625= 25 cm

a

c
b

Calculo de los catetos
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En un triángulo rectángulo un cateto mide 8 cm
y la hipotenusa mide 10 cm. Hallar el otro
cateto.
Por el T. de Pitágoras: a 2 = b2 + c2
De donde: c2 = a2 – b2
c2 = 102 – 82
c2 = 100 – 64
c2 = 36  Cateto c = √36 = 6 cm
En un triángulo rectángulo un cateto mide 21
cm y lahipotenusa mide 29 cm. Hallar el otro
cateto.
Por el T. de Pitágoras: a 2 = b2 + c2
De donde: c2 = a2 – b2
c2 = 292 – 212
c2 = 841 – 441
c2 = 400  Cateto c = √400 = 20 cm

a

c
b

Calculo de los catetos
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En un triángulo rectángulo un cateto mide 9 cm
y la hipotenusa mide 41 cm. Hallar el otro
cateto.
Por el T. de Pitágoras: a 2 = b2 + c2
De donde: c2 = a2 – b2
c2 = 412 –92
c2 = 1681 – 81
c2 = 1600  Cateto c = √1600 = 40 cm
En un triángulo rectángulo un cateto mide 35
cm y la hipotenusa mide 37 cm. Hallar el otro
cateto.
Por el T. de Pitágoras: a 2 = b2 + c2
De donde: c2 = a2 – b2
c2 = 372 – 352
c2 = 1369 – 1225
c2 = 144  Cateto c = √144 = 12 cm

a

c
b

Reconocimiento de triángulos
• Sea un triángulo de lados a, b y c, donde a es el lado mayor.
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•Si a2 = b2 + c2  El triángulo es RECTÁNGULO.
Tiene un ángulo recto (90º) opuesto al lado a.
Si a2 < b2 + c2  El triángulo es ACUTÁNGULO.
Los tres ángulos son menores de 90º.
Si a2 > b2 + c2  El triángulo es OBTUSÁNGULO.
Tiene un ángulo obtuso, mayor de 90º, el opuesto al lado a.

a
c
A=90º
b

a

a

c
A<90º
b

c
A>90º

b

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Ejercicios

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1.¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 7, 5y 10 cm
respectivamente?.
Resolución
El mayor, 10, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo.
Como a2 = b2 + c2  102 = 72 + 52  100 = 49 + 25  100 = 74  100 > 74
Como 100 > 74 es un triángulo obtusángulo.

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2.¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 60, 11 y 61 cm
respectivamente?.
Resolución
El mayor, 61, deberá ser la hipotenusa si es untriángulo rectángulo.
Como a2 = b2 + c2  612 = 602 + 112  3721 = 3600 + 121 
Efectivamente 3721 = 3721, luego es un triángulo rectángulo.
3.¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 10, 11 y 12 cm
respectivamente?.
Resolución
El mayor, 12, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo.
Como a2 = b2 + c2  122 = 112 + 102  144 = 121 + 100  144 = 221  144 < 121
Como 144 < 121 esun triángulo acutángulo.

Problemas de Pitágoras
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Ejemplo_1

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Al construir un marco para una ventana
rectangular, un carpintero mide el largo y
la diagonal, que le dan 8 dm y 10 dm
respectivamente. ¿Qué tiene que medir el
alto para que el marco esté bien hecho?.

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Como la ventana ha de ser un rectángulo,
se debe cumplir el Teorema de Pitágoras:
a2 = b2 + c2  102 = 82 + h2 
h2...