1a Sistemas Coordenados

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Coordenadas de un punto
En esta sección iniciamos con las definiciones de algunos conceptos básicos sobre los cuales descansan todos los demás conceptos que utilizaremos a lo largo del curso.

Ejes Coordenados
Recta dirigida
Sobre una línea recta eleginos un punto al cual llamaremos origen. A partir de este punto se definen las
direcciones una como positiva y la otracomo negativa.
Nosotros utilizaremos una unidad de medida en cada recta dirigida.

Definición
1

Por ejemplo, la siguiente es una recta dirigida:

Origen

x (−)

−2

−1

0

2

1

3

x (+)
4

En una recta dirigida definimos una unidad de medida y un origen, donde colocamos el cero.
También definimos en qué dirección se consideran los números positivos. Una vez definida esta
dirección, la otradirección se considera que contiene los números negativos.
Segmento
Es una parte de una recta limitada por dos de sus puntos.

Definición
2

El siguiente segmento está limitado por los puntos A y B y se denota por AB.

B
AB

A

Pero no tenemos por qué conformarnos con usar solamente una recta dirigida. Algunas veces es
muy conveniente considerar dos rectas dirigidas.
Por ejemplo, en algunas ciudades,las calles están enumeradas. De manera que una dirección
puede ser, Calle 34 Entre 21 y 23. Esto ayuda a localizar de una manera más rápida una ubicación.

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Ejes coordenados
Un sistema de ejes coordenados se representa por medio de dos rectas dirigidas, mutuamente perpendiculares.
Las dos rectas dirigidas se intersectan en susrespectivos orígenes.
Cada una de las rectas que forman el sistema de ejes coordenados se conoce como eje.
Es común dibujar los sistemas de ejes coordenados con un eje horizontal (abscisas) y el otro vertical
(ordenadas) con la unidad de medida común a ambos.
El siguiente es un sistema de ejes coordenados:

y (Ordenadas)
5
4
3
2
1

−1

O

1

2

3

4

5

x (Abscisas)

De esta manera, cuando elegimos unpunto del plano así formado, podemos asignar un único par
de valores, que corresponden a la distancia del origen a la coordenada que le corresponde en cada
uno de los ejes.
Por ejemplo, fácilmente podemos ubicar el punto A(3, 2) en el sistema de ejes coordenados.
Primero recorremos a partir del origen 3 unidades y después, verticalmente avanzamos 2 unidades.

Definición
4

Coordenada de un puntoCuando un punto del plano se define a través de las distancias de sus respectivos ejes al origen, se dice
que cada uno de los valores son sus coordenadas.
Por ejemplo, en el punto A(3, 2) el número 3 es la coordenada de las abscisas, o también del eje
horizontal, que comúnmente llamaremos eje x y el número 2 es la coordenada de las ordenadas,
o del eje vertival, que llamaremos eje y.
Ubica lossiguientes puntos en el sistema de ejes coordenados dado:

Ejemplo 1

✓ A(3, 2)

✓ C (3, −2)

✓ E(1, 1)

✓ G (0, 5)

✓ B(−3, 2)

✓ D (−3, −2)

✓ F (−1, 2)

✓ H (3, 0)

• Recuerda, siempre debemos primero ubicar la primera coordenada sobre el eje horizontal.

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Definición
3

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y
5 G
4
3

B

F

2

A

1

E
H

−5

−4

−3

−2

−1

O

1

2

3x
4

5

−1
−2

D

C

−3
−4
• Junto a la etiqueta que corresponde a cada punto escribe sus coordenadas.

Observa que si A( x a , y a ) y B( xb , yb ), entonces, A = B solamente si x a = xb y también, y a = yb .
En palabras, dos puntos son el mismo punto si tienen exactamente las mismas coordenadas (en el
mismo sistema de ejes coordenados).
En la geometría analítica frecuentemente necesitaremoscalcular la distancia entre dos puntos,
para lo cual nos será de gran ayuda la siguiente fórmula:
Distancia entre dos puntos
Sean P( x p , y p ) y Q( xq , yq ) dos puntos del plano. La distancia entre ellos, medido en la unidad de medida
del sistema de coordenadas es igual a:
D=

Definición
5

( x q − x p )2 + ( y q − y p )2

A partir de la fórmula anterior, podemos deducir las siguientes:...