1A variación de la longitud del arco y la energia

1a Variaci´n de la longitud del arco y la energia o

Definici´n 0.1. Sea c : [a, b] −→ M una curva diferenciable, > 0. Una o variaci´n de c es una aplicaci´n diferenciable F : (− , ) × [a, b] −→ Mcon o o F (0, t) = c(t), ∀t ∈ [a, b]. Toda variaci´n define dos familias de curvas en M : o − para cada s0 ∈ (− , ), Fs0 : [a, b] −→ M definida por Fs0 (t) := F (s0 , t), curvas principales. − para cadat0 ∈ [a, b], Ft0 : (− , ) −→ M definida por Ft0 (s) := F (s, t0 ), curvas transversales. Diremos que una variaci´n es propia si la familia de curvas principales tiene el o mismo punto inicial y final,es decir, F (s, a) = c(a) y F (s, b) = c(b), ∀s ∈ (− , ). Definici´n 0.2. Un campo de vectoros V a lo largo de F es una aplicaci´n o o diferenciable V : (− , ) × [a, b] −→ T M tal que V (s, t) ∈ TF(s,t) M , ∀(s, t).
∂ ∂ Los vectores tangentes dF ( ∂s ), dF ( ∂t ) de las curvas Ft (s), Fs (t) respectivamente, son ejemplos de campos de vectores a lo largo de F. Estos campos los ∂ ∂ denotaremos: dF (∂s ) = ∂F y dF ( ∂t ) = ∂F . ∂s ∂t

Definici´n 0.3. Llamamos campo variacional de F al campo de vectores o V (t) = ∂F (0, t) a lo largo de c(t). ∂s Si V es un campo de vectores a lo largo de F : (−, ) × [a, b] −→ M , definimos la derivada covariante DV (s, t) y DV (s, t) de la siguiente forma. Sea ∂s ∂t t0 ∈ [a, b], DV (s, t0 ) es la derivada covariante a lo largo de la curva Vt0 (s) de ∂s a larestriccion de V a esta curva. Esto define DV (s, t), ∀(s, t). De forma an´lola ∂s tenemos definida DV (s, t), ∀(s, t). ∂t Lema 0.4. (de simetria) Sea M una variedad diferencible con una conexi´n osim´trica y sea F : (− , )×[a, b] −→ M una variaci´n de una curva c, entonces: e o D ∂F D ∂F = ∂s ∂t ∂t ∂s 1 (1)

Proposici´n 0.5. Sea F : (− , ) × [a, b] −→ M una variaci´n de una curva o odiferenciable c : [a, b] −→ M y sean L y E la longitud y la energia de la curva Fs (t), entonces: (2)
b

L (0) =
a

∂ ∂t

D S, T − S, ∂t T

T, T

1 2

dt

(3)

b

E (0) = S, T |t=b,s=0 −...