1B 07 Polinomios Taylor

Tema 7

Polinomios de Taylor.
7.1

Polinomios de Taylor.

Definici´
on 7.1 – Recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado n para la funci´on f en
el punto a, denotado por Pn,a , el polinomio:
Pn,a (x) = f (a) +

f (a)
f (a)
f n) (a)
(x − a) +
(x − a)2 + · · · +
(x − a)n .
1!
2!
n!

Como es f´acil ver, este polinomio verifica que sus derivadas hasta el orden n coinciden con las
derivadas de lafunci´on f en el punto a.
Teorema 7.2 – Supongamos que f es una funci´on para la cual existen f , f , . . . , f n−1) en un
entorno de a y existe f n) (a). Sea Pn,a (x) el polinomio de Taylor de grado n para la funci´on f
en el punto a, entonces:
f (x) − Pn,a (x)
=0
lim
x→a
(x − a)n
Nota: Este resultado nos indica que la diferencia entre f (x) y Pn,a (x) no solo se hace peque˜
na
n
cuando x tiendea a, sino que se hace peque˜
na incluso en comparaci´on con (x − a) .
Observaci´on:
Con lo anterior estamos expresando que los polinomios de Taylor se aproximan muy bien a la
funci´on, casi puede decirse que “reproducen” la funci´on cerca del punto. Por ello, el uso de los
polinomios de Taylor en este sentido, es uno de los m´etodos m´as sencilos para evaluar funciones
de forma aproximada.
Esobvio, que si aumentamos el orden del polinomio se produce una mejor aproximaci´
on,
no solo porque el valor del polinomio en un punto sea m´as cercano al valor real de la funci´on
(“mejor” aproximaci´on) sino tambi´en porque pueden aumentar los puntos para los cuales la
aproximaci´on es “buena”. No obstante ´esto no es lineal, es decir, no por aumentar mucho el
grado del polinomio vamos a conseguiruna buena aproximaci´
on en todo el dominio.
En la Figura 7.1, podemos ver un ejemplo de lo que estamos diciendo, por mucho que
aumentemos el orden de los polinomios de Taylor, P n = Pn,0 , en x = 0 la funci´on f (x) = x21+1
no puede aproximarse para los valores de x fuera de (−1, 1).
Por ello se dice que las aproximaciones de Taylor son aproximaciones locales.

7.1.1

Estudio de m´
aximos ym´ınimos locales.

Proposici´
on 7.3 – Sea f una funci´on para la cual existen f , f , . . . , f n−1) en un entorno del
punto a y tal que
f (a) = f (a) = · · · = f n−1) (a) = 0

y

f n) (a) = 0,

entonces:
a) Si n es par y f n) (a) > 0, f presenta un m´ınimo local en a.
C´
alculo diferencial.

77

7.2 F´ormula de Taylor.

P8

P4

P0
f(x)
-1

-2

1

2

P2
P6
1
Fig. 7.1. f (x) = 1+x
2 y sus polinomios deTaylor en x = 0 de grados 0,
2, 4, 6 y 8. Se observa claramente que la aproximaci´on es buena “cerca”
de x = 0 , pero muy mala lejos de x = 0

b) Si n es par y f n) (a) < 0, f presenta un m´aximo local en a.
c) Si n es impar y f n) (a) > 0, f es estrictamente creciente en a.
d) Si n es impar y f n) (a) < 0, f es estrictamente decreciente en a.

7.2

F´
ormula de Taylor.

F´
ormula de Taylor 7.4 –Supongamos que para una funci´on f existen f , f , . . . , f n+1) sobre
el intervalo [a, x], y sea Rn,a (x) definido por
Rn,a (x) = f (x) − Pn,a (x),
es decir,
f (x) = Pn,a (x) + Rn,a (x) = f (a) +
Entonces
Rn,a (x) =

f (a)
f n) (a)
(x − a) + · · · +
(x − a)n + Rn,a (x)
1!
n!

f n+1) (t)
(x − a)n+1 para un cierto t ∈ (a, x),
(n + 1)!

llamado resto de Lagrange, o bien
Rn,a (x) =

f n+1) (t)
(x −t)n (x − a) para un cierto t ∈ (a, x),
n!

que se denomina resto de Cauchy.

7.2.1

Operaciones con los polinomios de Taylor.

Propiedades 7.5 – Sean f y g dos funciones y Pn,a y Qn,a los polinomios de Taylor de grado
n en a respectivos. Se tiene
a) El polinomio de Taylor de grado n para f + g en a es Pn,a + Qn,a
b) El polinomio de Taylor de grado n para f g en a es la parte hasta grado n delpolinomio
producto de Pn,a y Qn,a .

C´
alculo diferencial.

78

7.3 Representaci´on de funciones.

c) El polinomio de Taylor de grado n para f /g en a se obtiene dividiendo el polinomio Pn,a
entre el polinomio Qn,a , pero ordenados de la potencia menor a la potencia mayor, hasta
llegar al grado n en el cociente. Esto es cierto siempre que Qn,a (a) = 0 ´
o que si los k
primeros t´erminos del...