1Capacitores 2

CAPACITORES
Este subtema es una aplicación de la primera parte del curso (Electrostática); empezando con la existencia de dos objetos metálicos cargados como se muestra en la figura adjunta. Experimentalmente cuando se coloca un vóltmetro electrostático (instrumento para medir diferencias de potencial), conectado a los dos conductores mostrados en la figura adyacente, éste registra unadiferencia de potencial lo cual indica que existe un campo electrostático entre los dos conductores.
Experimentalmente se observa que si la carga aumenta en los conductores también aumenta la diferencia de potencial registrada en el voltímetro (V) a la vez si disminuye la carga en los conductores disminuye la diferencia de potencial; de tal forma que: la carga Q y la diferencia de potencial sondirectamente proporcionales o sea que sí C es una constante de proporcionalidad, entonces:
Q=CV CA-1



Por definición a esta constante de proporcionalidad se le llama CAPACITANCIA del dispositivo aquí considerado, que también por definición se llama CAPACITOR y como de la igualdad inmediata anterior se obtiene:
C=. Aquí se observa que las unidades de la capacitancia son tales que:se define como 1Farad. ; sin embargo estas unidades son muy grandes por lo que se usan sub-multiplos de los Faraday o se o pF; como una aplicación de la igualdad próxima anterior se desarrolla el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.- Demuestre que la capacitancia de un capacitor de placas paralelas, con área A en cada placa y d la distancia que separa las placa muy pequeña; de tal forma que sedesprecian los efectos de orilla, es C=, aclarando que la constante es constante de permitividad en el vacío.
RESPUESTA: suponga la figura adjunta; con las aclaraciones siguientes: A representa el área de cada una de las placas, d la distancia que separa las placas, la placa amarilla está cargada negativamente Q- y la placa inferior tiene carga Q+; siendo el campo eléctrico entre las placas, entoncesla diferencia de potencial entre la placa positiva y la placa negativa es V=E0d; por lo que aplicando la definición de la capacitancia se tiene:
C = pero del capítulo de la ley de Gauss (la magnitud de campo eléctrico en la vecindad de una placa muy grande), se tiene que para dos placas una muy cerca de la otra. E0 =; la densidad de carga por unidad de área, por lo que = C = =


Ejemplo 2.-Un caso de interés pedagógico, aunque ideal, es el capacitor de forma esférica que se ilustra en el diagrama mostrado en la figura adjunta: con b el radio exterior de la superficie esférica, a el radio del la superficie esférica interior. En la figura aquí considerada, la esfera de radio r, representa la superficie gaussiana, para poder aplicar la ley de Gauss y se determina primero el campoelectrostático entre las dos superficies metálicas esféricas y posteriormente la diferencia de potencial entre las mismas; remarcando que la superficie esférica exterior tiene carga negativa Q-, mientras que la superficie esférica interior tiene carga positiva y lo que se muestra en la figura es un corte justo a la mitad de las dos superficies esféricas.
Con estas aclaraciones se asegura que ladirección del campo eléctrico es normal exterior para todo punto de la superficie gaussiana, entonces de la ley de Gauss se tiene:
= (1)
Note que esta integral se está evaluando sobre la superficie gaussiana de radio r y como el campo y la diferencial de superficie tienen la misma dirección, entonces:
= 4E(), quesustituyendo en (1) se tiene:
4E() = (2)
Aplicando la definición de potencial electrostático se tiene:
V = - ; pero como el campo electrostático y la d tienen la misma dirección, entonces:
V = - = = ; sustituyendo esta igualdad en la expresión que define la capacitancia se tiene:
C = =
Comentario.- Del resultado de estos dos ejemplos se concluye,...