1Discusión Algebra

ÁLGEBRA VECTORIAL Y MATRICES/ CICLO 01-2015

Semana N°1
Discusión N°1. Tema: Operaciones de números complejos en notación
rectangular y binomial.
1. Evaluar la siguiente expresión
𝑗 18 − 3𝑗 7 + 𝑗 2(1 − 𝑗 4 ) − (−𝑗)26
Resolución.
Para la resolución de este ejercicio hay que tener presente las siguientes leyes de los
exponentes:
𝒂𝒏 𝒂𝒎 = 𝒂𝒏+𝒎
(𝒂𝒏 )𝒎 = 𝒂𝒏𝒎
Asimismo, debemos recordar que j2=-1,j3=-j, j4=1. Por lo que al reescribir la expresión se
tendría:
𝟒

(𝒋𝟒 ) 𝒋𝟐 − 𝟑𝒋𝟒 𝒋𝟑 − 𝟏(𝟏 − 𝟏) − (−𝟏)𝟐𝟔 (𝒋)𝟐𝟔
(𝟏)𝟒 (−𝟏) − 𝟑(𝟏)(−𝒋) − 𝟏(𝟎) − 𝒋𝟐𝟔
𝟔

−𝟏 + 𝟑𝒋 − (𝒋𝟒 ) 𝒋𝟐
−𝟏 + 𝟑𝒋 − (𝟏)𝟔 (−𝟏)
−𝟏 + 𝟑𝒋 + 𝟏 = 𝟑𝒋
2.Reduzca las siguientes expresiones a la forma a+bj:

a.

1+√−3
1−√−3

−

1−√−3
1+√−3

Resolución.
Para la resolución de este ejercicio hay que tener presente que:
√−𝟑 = √𝟑 ∗ −𝟏 = √𝟑 ∗ √−𝟏 = √𝟑𝒋
Así,la expresión quedaría de la siguiente forma1:
𝟏 + √𝟑𝒋
𝟏 − √𝟑𝒋

−

𝟏 − √𝟑𝒋
𝟏 + √𝟑𝒋

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Para la resolución del ejercicio se trabajan las expresiones dadas utilizando álgebra elemental, si hay
algunaduda con el proceso consultar el tema de expresiones racionales enteras.

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ÁLGEBRA VECTORIAL Y MATRICES/ CICLO 01-2015
𝟏 + √𝟑𝒋
𝟏 − √𝟑𝒋

−

𝟏 − √𝟑𝒋
𝟏 + √𝟑𝒋

=

𝟐

(𝟏 + √𝟑𝒋)(𝟏 + √𝟑𝒋) − (𝟏 − √𝟑𝒋)(𝟏 −√𝟑𝒋)
(𝟏 − √𝟑𝒋)(𝟏 + √𝟑𝒋)
𝟐

[𝟏 + 𝟐√𝟑𝒋 + (√𝟑𝒋) ] − [𝟏 − 𝟐√𝟑𝒋 + (√𝟑𝒋) ]
𝟐

𝟏 − (√𝟑𝒋)

=

[𝟏 + 𝟐√𝟑𝒋 + 𝟑𝒋𝟐 ] − [𝟏 − 𝟐√𝟑𝒋 + 𝟑𝒋𝟐 ]
𝟏 − 𝟑𝒋𝟐

[𝟏 + 𝟐√𝟑𝒋 − 𝟑] − [𝟏 − 𝟐√𝟑𝒋 − 𝟑] 𝟏 + 𝟐√𝟑𝒋 − 𝟑 − 𝟏 + 𝟐√𝟑𝒋 + 𝟑
=
𝟏+𝟑
𝟒
𝟒√𝟑𝒋
=√𝟑𝒋
𝟒

b. (2𝑖 − 1)2 [

4
1−𝑖

+

2−𝑖
1−𝑖

]

Resolución.
Dada la forma del ejercicio, este se resolverá por partes:
(𝟐𝒊 − 𝟏)𝟐 = (𝟐𝒊)𝟐 − 𝟐(𝟐𝒊)(𝟏) + 𝟏 = 𝟒𝒊𝟐 − 𝟒𝒊 + 𝟏 = −𝟒 − 𝟒𝒊 + 𝟏 = −𝟑 − 𝟒𝒊
Asimismo:
𝟒
𝟐−𝒊 𝟒+𝟐−𝒊𝟔−𝒊
+
=
=
𝟏−𝒊 𝟏−𝒊
𝟏−𝒊
𝟏−𝒊
Para efectuar la división se debe multiplicar tanto el numerador como el denominador
por el complejo conjugado2 de 1-i, así:
𝟔 − 𝒊 𝟔 − 𝒊 𝟏 + 𝒊 (𝟔 − 𝒊)(𝟏 + 𝒊)
=
∗
=
𝟏 − 𝒊 𝟏 − 𝒊 𝟏 +𝒊 (𝟏 − 𝒊)(𝟏 + 𝒊)
(𝟔 − 𝒊)(𝟏 + 𝒊) 𝟔 + 𝟔𝒊 − 𝒊 − 𝒊𝟐 𝟔 + 𝟓𝒊 + 𝟏 𝟕 + 𝟓𝒊 𝟕 𝟓
=
=
=
= + 𝒊
(𝟏 − 𝒊)(𝟏 + 𝒊)
𝟏 − 𝒊𝟐
𝟏+𝟏
𝟐
𝟐 𝟐
Sustituyendo en la expresión original se tiene:
(𝟐𝒊 − 𝟏)𝟐 [

𝟒...