1Er Orden

UNIDAD 1

INTRODUCCIÓN


1. Conceptos Fundamentales y Terminología

1.1.1 Ecuación Diferencial
1.1.2 Solución de una Ecuación diferencial
1.1.3 Clasificación de la Solución de una Ecuación Diferencial


2. Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales

1.2.1 Clasificación de Acuerdo al Tipo de Derivadas
1.2.2 Clasificación de Acuerdo al Orden
1.2.3 Clasificación de Acuerdoal Grado
1.2.4 Clasificación Según la Linealidad


3. Ecuaciones Diferenciales como Expresiones de Modelos Matemáticos

1.3.1 Ley de Enfriamiento de Newton
1.3.2 Ley de Crecimiento y Decrecimiento Exponencial
1.3.3 Desintegración Radiactiva
1.3.4 Segunda Ley de Newton
1.3.5 Leyes de Voltaje de Kirchhoff


1.4 Sección de Problemas

1.4.1 Problemas Resueltos
1.4.2 Auto Evaluación1.4.3 Solución de la Auto Evaluación

Objetivos particulares de la unidad.- El alumno reconocerá los principales elementos de las ecuaciones diferenciales



INTRODUCCIÓN


En el presente capítulo se define el concepto y se dan las clasificaciones de una Ecuación Diferencial (ED) de acuerdo al tipo de derivadas que intervienen en la misma, al orden y a la linealidad o no linealidad de suexpresión. También se clasifica la solución de una ED y se identifican las variables que intervienen en ella. Adicionalmente, se representan las ecuaciones diferenciales como expresiones de modelos matemáticos. Finalmente se presentan una serie de ejercicios resueltos de forma detallada y se proponen otros tantos con su respectiva solución (no en forma detallada) con el propósito de que el alumnopueda aplicar los conocimientos que adquiera en el presente capítulo.



1. Conceptos Fundamentales y Terminología


1.1.1 Ecuación Diferencial

Es una ecuación que contiene diferenciales de la variable dependiente y de la variable independiente. También se define como una ecuación que contiene una o más derivadas.

Es importante recordar que para identificar la variable dependiente,ésta debe de ser la que se esta derivando, mientras que, la variable independiente es con respecto a la que se deriva. Así la expresión

[pic]

se clasifica como una ED ya que contiene por lo menos una derivada. Recuerde que para que una expresión sea una ecuación se requiere del signo de igualdad. Se identifica a la variable z como la variable dependiente puesto que es la que se está derivando;mientras que t es la variable independiente ya que se esta derivando con respecto de ella. Si la expresión anterior no incluyera el signo de igualdad, es decir, que se presentara como

[pic]

no se trataría de una ecuación diferencial, simplemente sería una expresión que contiene una derivada.
1.1.2 Solución de una Ecuación Diferencial


Una solución de una ED es una función o ecuación quesatisface la igualdad.

En el ejemplo anterior la ecuación diferencial es

[pic]
¿Cómo se puede saber si [pic] es o no una solución de la ED?
Respuesta: Simplemente se debe de sustituir la expresión que define a z en la ED

[pic]

Note que los términos dentro de los paréntesis definen a z. Realizando la derivada y multiplicando se obtiene

[pic]

eliminando términos semejantes sellega a

10 = 10

ya que la igualdad es verdadera, es decir, se satisface la igualdad, se concluye que la expresión [pic] es una solución de la ED [pic]

Considérese ahora, para la misma ED, la expresión [pic]¿es o no solución de ella?
Sustituyendo z en la ED

[pic]

Realizando la derivada y multiplicando se obtiene

[pic]

[pic]

Se observa que la igualdad es falsa, por lo que laexpresión [pic], no es una solución de la ED (no satisface la igualdad).


1.1.3 Clasificación de la Solución de una Ecuación Diferencial

La solución de una ED diferencial se puede clasificar como General o Particular. La Solución General también se conoce como Solución Primitiva. Suponga que las siguientes expresiones son soluciones de una Ecuación Diferencial. Note que en todas ellas y...