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Páginas: 46 (11265 palabras)
Publicado: 6 de noviembre de 2015
Cap´ıtulo 1: LIMITE Y CONTINUIDAD
Matem´
atica II (529104)
Departamento de Ingenier´ıa Matem´
atica
Universidad de Concepci´
on
Segundo Semestre de 2015
529104
L´ımite y Continuidad
DIM, 2015-2
1 / 60
Noci´
on Intuitiva de L´ımite
Consideremos la funci´
on
f (x) =
529104
x3 − 1
x −1
L´ımite y Continuidad
DIM, 2015-2
2 / 60
Noci´
on Intuitiva de L´ımite
Consideremos la funci´
on
f(x) =
x3 − 1
x −1
Observe que f no est´
a definida en x = 1, pues:
f (1) =
529104
13 − 1
1−1
0
=
=
1−1
1−1
0
L´ımite y Continuidad
(Div. por 0)
DIM, 2015-2
2 / 60
Noci´
on Intuitiva de L´ımite
Consideremos la funci´
on
f (x) =
x3 − 1
x −1
Observe que f no est´
a definida en x = 1, pues:
f (1) =
13 − 1
1−1
0
=
=
1−1
1−1
0
(Div. por 0)
Sin embargo, observamos los valores que estan“al rededor”de x = 1:
x
f (x)
0,5
1,75
529104
0,75
2,313
0,9
2,71
0,99
2,97
0,999
2,997
1
×
L´ımite y Continuidad
1,001
3,003
1,01
3,03
1,1
3,31
1,25
3,813
1,5
4,75
DIM, 2015-2
2 / 60
Noci´
on Intuitiva de L´ımite
A pesar de que f no est´
a definida en x = 1, podemos acercarnos tanto como queramos a
este valor, tanto como por izquierda:
f (0,99999999) = 2,999999966693309 ≈ 3
como porderecha:
f (1,00000001) = 3,000000022204461 ≈ 3
529104
L´ımite y Continuidad
DIM, 2015-2
3 / 60
Noci´
on Intuitiva de L´ımite
A pesar de que f no est´
a definida en x = 1, podemos acercarnos tanto como queramos a
este valor, tanto como por izquierda:
f (0,99999999) = 2,999999966693309 ≈ 3
como por derecha:
f (1,00000001) = 3,000000022204461 ≈ 3
En tal caso, se dice que el l´ımite de f (x)cuando x tiende a 1 es 3 y escribimos
l´ım f (x) = 3
x→1
o bien, escribiendo la funci´
on:
l´ım
x→1
529104
x3 − 1
=3
x −1
L´ımite y Continuidad
DIM, 2015-2
3 / 60
Definici´on (Informal) de L´ımite
Definici´
on 1: L´ımite
Si f (x) se hace arbitrariamente pr´
oximo a un u
´nico n´
umero L a medida que se aproxima
hacia c por ambos lados, decimos que el l´ımite de f (x) cuando x tiende a c,es L, y
escribimos
l´ım f (x) = L
x→c
529104
L´ımite y Continuidad
DIM, 2015-2
4 / 60
Definici´on (Informal) de L´ımite
Definici´
on 1: L´ımite
Si f (x) se hace arbitrariamente pr´
oximo a un u
´nico n´
umero L a medida que se aproxima
hacia c por ambos lados, decimos que el l´ımite de f (x) cuando x tiende a c, es L, y
escribimos
l´ım f (x) = L
x→c
Observaci´
on
Formalmente, ladefinici´
on de l´ımite es:
l´ım f (x) = L
x→c
Para todo
> 0, existe un δ = δ( ) > 0 tal que |x − c| < δ =⇒ |f (x) − L| <
Esta definici´
on se utiliza para demostrar las propiedades de los l´ımites. Pero como este no
es el objetivo del curso, simplementete utilizaremos la definici´
on informal dada arriba.
529104
L´ımite y Continuidad
DIM, 2015-2
4 / 60
Ejemplos
1
Evaluando la funci´
on
f (x) =√
x
x +1−1
en los valores cercanos a x = 0 obtenemos la siguiente tabla
x
f (x)
−0,1
1,9487
−0,01
1,995
−0,001
1,9995
−0,0001
1,9999
De aqu´ı se concluye que
l´ım √
x→0
529104
0
×
0,0001
2,0001
0,001
2,0005
0,01
2,005
0,1
2,0488
x
=2
x +1−1
L´ımite y Continuidad
DIM, 2015-2
5 / 60
Ejemplos
2
Consideramos la funci´
on
f (x) = x 2 + x + 1
Evaluando en los valores cercanos a x =1 obtenemos la siguiente tabla
x
f (x)
0,75
2,313
0,9
2,71
0,99
2,97
0,999
2,997
1
×
1,001
3,003
1,01
3,03
1,1
3,31
1,25
3,813
De aqu´ı se concluye que
l´ım (x 2 + x + 1) = 3
x→1
529104
L´ımite y Continuidad
DIM, 2015-2
6 / 60
Ejemplos
2
Consideramos la funci´
on
f (x) = x 2 + x + 1
Evaluando en los valores cercanos a x = 1 obtenemos la siguiente tabla
x
f (x)
0,75
2,313
0,92,71
0,99
2,97
0,999
2,997
1
×
1,001
3,003
1,01
3,03
1,1
3,31
1,25
3,813
De aqu´ı se concluye que
l´ım (x 2 + x + 1) = 3
x→1
Observe que en este caso la funci´
on esta definida en x = 1, de donde evaluando
directamente se obtiene
f (1) = 12 + 1 + 1 = 3
As´ı, se tiene que
l´ım f (x) = f (1)
x→1
Esto es un ejemplo de una evaluaci´
on directa del l´ımite. Sin embargo, no siempre
es...
Matem´
atica II (529104)
Departamento de Ingenier´ıa Matem´
atica
Universidad de Concepci´
on
Segundo Semestre de 2015
529104
L´ımite y Continuidad
DIM, 2015-2
1 / 60
Noci´
on Intuitiva de L´ımite
Consideremos la funci´
on
f (x) =
529104
x3 − 1
x −1
L´ımite y Continuidad
DIM, 2015-2
2 / 60
Noci´
on Intuitiva de L´ımite
Consideremos la funci´
on
f(x) =
x3 − 1
x −1
Observe que f no est´
a definida en x = 1, pues:
f (1) =
529104
13 − 1
1−1
0
=
=
1−1
1−1
0
L´ımite y Continuidad
(Div. por 0)
DIM, 2015-2
2 / 60
Noci´
on Intuitiva de L´ımite
Consideremos la funci´
on
f (x) =
x3 − 1
x −1
Observe que f no est´
a definida en x = 1, pues:
f (1) =
13 − 1
1−1
0
=
=
1−1
1−1
0
(Div. por 0)
Sin embargo, observamos los valores que estan“al rededor”de x = 1:
x
f (x)
0,5
1,75
529104
0,75
2,313
0,9
2,71
0,99
2,97
0,999
2,997
1
×
L´ımite y Continuidad
1,001
3,003
1,01
3,03
1,1
3,31
1,25
3,813
1,5
4,75
DIM, 2015-2
2 / 60
Noci´
on Intuitiva de L´ımite
A pesar de que f no est´
a definida en x = 1, podemos acercarnos tanto como queramos a
este valor, tanto como por izquierda:
f (0,99999999) = 2,999999966693309 ≈ 3
como porderecha:
f (1,00000001) = 3,000000022204461 ≈ 3
529104
L´ımite y Continuidad
DIM, 2015-2
3 / 60
Noci´
on Intuitiva de L´ımite
A pesar de que f no est´
a definida en x = 1, podemos acercarnos tanto como queramos a
este valor, tanto como por izquierda:
f (0,99999999) = 2,999999966693309 ≈ 3
como por derecha:
f (1,00000001) = 3,000000022204461 ≈ 3
En tal caso, se dice que el l´ımite de f (x)cuando x tiende a 1 es 3 y escribimos
l´ım f (x) = 3
x→1
o bien, escribiendo la funci´
on:
l´ım
x→1
529104
x3 − 1
=3
x −1
L´ımite y Continuidad
DIM, 2015-2
3 / 60
Definici´on (Informal) de L´ımite
Definici´
on 1: L´ımite
Si f (x) se hace arbitrariamente pr´
oximo a un u
´nico n´
umero L a medida que se aproxima
hacia c por ambos lados, decimos que el l´ımite de f (x) cuando x tiende a c,es L, y
escribimos
l´ım f (x) = L
x→c
529104
L´ımite y Continuidad
DIM, 2015-2
4 / 60
Definici´on (Informal) de L´ımite
Definici´
on 1: L´ımite
Si f (x) se hace arbitrariamente pr´
oximo a un u
´nico n´
umero L a medida que se aproxima
hacia c por ambos lados, decimos que el l´ımite de f (x) cuando x tiende a c, es L, y
escribimos
l´ım f (x) = L
x→c
Observaci´
on
Formalmente, ladefinici´
on de l´ımite es:
l´ım f (x) = L
x→c
Para todo
> 0, existe un δ = δ( ) > 0 tal que |x − c| < δ =⇒ |f (x) − L| <
Esta definici´
on se utiliza para demostrar las propiedades de los l´ımites. Pero como este no
es el objetivo del curso, simplementete utilizaremos la definici´
on informal dada arriba.
529104
L´ımite y Continuidad
DIM, 2015-2
4 / 60
Ejemplos
1
Evaluando la funci´
on
f (x) =√
x
x +1−1
en los valores cercanos a x = 0 obtenemos la siguiente tabla
x
f (x)
−0,1
1,9487
−0,01
1,995
−0,001
1,9995
−0,0001
1,9999
De aqu´ı se concluye que
l´ım √
x→0
529104
0
×
0,0001
2,0001
0,001
2,0005
0,01
2,005
0,1
2,0488
x
=2
x +1−1
L´ımite y Continuidad
DIM, 2015-2
5 / 60
Ejemplos
2
Consideramos la funci´
on
f (x) = x 2 + x + 1
Evaluando en los valores cercanos a x =1 obtenemos la siguiente tabla
x
f (x)
0,75
2,313
0,9
2,71
0,99
2,97
0,999
2,997
1
×
1,001
3,003
1,01
3,03
1,1
3,31
1,25
3,813
De aqu´ı se concluye que
l´ım (x 2 + x + 1) = 3
x→1
529104
L´ımite y Continuidad
DIM, 2015-2
6 / 60
Ejemplos
2
Consideramos la funci´
on
f (x) = x 2 + x + 1
Evaluando en los valores cercanos a x = 1 obtenemos la siguiente tabla
x
f (x)
0,75
2,313
0,92,71
0,99
2,97
0,999
2,997
1
×
1,001
3,003
1,01
3,03
1,1
3,31
1,25
3,813
De aqu´ı se concluye que
l´ım (x 2 + x + 1) = 3
x→1
Observe que en este caso la funci´
on esta definida en x = 1, de donde evaluando
directamente se obtiene
f (1) = 12 + 1 + 1 = 3
As´ı, se tiene que
l´ım f (x) = f (1)
x→1
Esto es un ejemplo de una evaluaci´
on directa del l´ımite. Sin embargo, no siempre
es...
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