1PROBLEMASCAMPOS

E p g = -G

Mm

Wcons   E p

r

E c1  E p1  E c 2  E p 2

Vg=


 Fg
g=
m

Mm 

F g = G 2 u r
r

2

T
3
a

ve =



M m 1
M m
1

  m v 22    G
m v12    G
2
r
2
r
1
2





2 GM T
RT

v

G MT
r

E pg
m

E p g = G

Mm
M
V g = G
r
r

 
V g    g dr

1

M m 
 
Wncons   m v22    G
r2 

 2

 F e
E=
q

Qq 

Fe = K 2 ur
r

Ve= k


M 
Mm
Mm
g= G 2 u r W12=  G
+G
r1
r2
r

vw r

1

M m 
2

 m v1    G
r1 

 2

Qq 

Fe = K 2 ur
r

 
V   E  dr
 
  E r
 
  E r cos 

Q
r

w

Wncons  H

2
T

w

 
V g   g  dr
 
  g r
 
  g r cos 

G MT
r3


Q
E = K 2 ur
r

E pe = K

 E pe = q ( V 2 - V 1 )

T 

4 2 r 3
GM

r

3

T 2 GM
4 2

Qq
r

1. Calcula la máxima altura que alcanza unproyectil lanzado desde la superficie de la Tierra con
una velocidad de 8 km/s suponiendo despreciable el rozamiento con el aire en los siguientes
supuestos: a) tomando g constante (g = 9,8 m/s2); b) teniendo en cuenta la variación de g con la
altura. Analiza ambos resultados. DATOS: MT=5,98·10 +24 kg ; RT=6380 km SOL: 3265 km
; 6689,78 km
a)

Wncons  H
No hay rozamiento, Wncons=0

H=0

H1=H2

11
m v12  mgh1  m v 22  mgh2
2
2
La masa puede eliminarse. Despejando h2

1 v12
h2  2
g
Ecuación homogénea.

1 8000 2
h2  2
 32 653 306 m o 32 65 km
9,8
b)

Wncons  H
No hay rozamiento, Wncons=0

H=0

H1=H2



M m
M m 1
1

  m v 22    G
m v12    G
2
r2 
r1  2


Las masas pueden eliminarse. Despejando r2

r2  

GM
M
1 2 
v1    G
2
r1






Ahora r1 no escero ya que se mide desde el centro de la Tierra. Además, punto 1
superficie de la tierra (r1 =RT) ; punto 2 altura máxima desde el centro de la tierra (r2 , v=0
m/s). Por tanto

r2  

6,67·10 11 5,98·10 24

5,98·10  24
1
8000 2    6,67·10 11
6380000
2






 13 069 782 m o 13 069 km

Medidos respecto de la superficie de la Tierra
h2 = r2 - RT
h2 = 13069 – 6380 = 6689 km
2. Elperiodo de la Luna cuando gira alrededor de la Tierra es de 28 días; ¿a qué distancia de la
Tierra se encuentra la Luna? Supón la órbita de la Tierra circular. DATO: MT=5,98·10 +24 kg SOL:
389586,2 km

4 2 r 3
GM

T 

r

3

r
por tanto

3

T 2 GM
4 2

(28·24·60·60) 2 6,67·10 115,98·10  24
 389586000 m
4 2

3. Un satélite artificial de 2 toneladas de masa describe una órbita circular a 400 kmde la
superficie de la Tierra. Calcula: a) la velocidad orbital del satélite; b) la energía necesaria para
poner el satélite en órbita si se lanza desde la superficie de la Tierra. DATOS: G= 6,67·10-11 N
m2kg-2 ; MT = 5,98·10 +24 kg ; RT = 6380 km SOL: 7670 m/s ; 6.62·10 +10 J

a)

v

G MT
r

v

6,67·10 11 5,98·10 24
 7670 m / s
6380000

b)

Wncons  H
El trabajo no consevativo será el querealiza el motor

1

M m 
 
Wncons   m v22    G
r2 

 2

1

M m 
2

 m v1    G
r1 

 2

Por tanto

1

5,98·10 24 2000 

Wncons   2000 0 2    6,67·10 11

2
6380000
400000



1

5,98·10  24 2000 
  6,62·10 10 J
  ·2000·7670 2    6,67·10 11
6380000


2
4. Calcula a qué altura sobre la superficie de la Tierra el campogravitatorio se reduce a la
cuarta parte de su valor en la superficie. DATO: RT = 6380 km SOL: 6380 km

1
gh  g0
4
gh  G

M
rh2

g0  G

M
RT2

Por tanto

G

M 1 M
 G
rh2 4 RT2

1 1

rh2 4 RT2

rh  4 RT2  1,276·10 7 m  12 760 km
Finalmente

h = 12760 - 6380 = 6380 km

5. Sabiendo que la distancia media Tierra Luna es de unos 3,8·105 km calcula el tiempo que
tarda la Luna en dar una vueltaalrededor de la Tierra. DATOS: G= 6,67·10-11 N m2kg-2 ; MT
=5,98·10 +24 kg SOL: 26.9 dias

T 

4 2 r 3
GM T

T 

4  2 (3,8·10 8 ) 3
 2 330 460 s  26,9 dias
6,67·10 11 ·5,98·10  24

6. Un satélite artificial de 500 kg de masa se lanza desde la superficie de la Tierra hasta una
altura h. En ese punto se le comunica una velocidad de 5000 m/s y comienza a describir una órbita
circular. Calcula: a)...