1Proyecto De Programaciu00F3n De La Asignatura Matemu00E1ticas


UNIDAD III: Introducción (solo lo básico, con carácter ampliable) a la lógica Matemática.

3.1 Lenguajes formales de primer orden (breve esbozo).

La lógica y su Historia. Tradicionalmente se ha dicho que la lógica se ocupa del estudio del razonamiento (ya que la lógica matemática, es una ciencia normal). Esto hoy en día puede considerarse desbordado por la enorme extensión y diversidad que haalcanzado esta disciplina, pero puede servirnos como una primera aproximación a su contenido. Un matemático competente distingue sin dificultad una demostración correcta de una incorrecta, o una demostración de otra cosa que aparenta serlo pero que no lo es. Sin embargo, no le preguntes que es lo que entiende por demostración, pues a menos que además sepa lógica, no lo sabrá responder, ni faltaque le hace. El matemático se las arregla para reconocer la validez de un argumento o sus posibles defectos de una forma improvisada, pero, al menos en principio, con una gran Fiabilidad, ya que el no necesita para ejecutar su tarea, contar con un concepto preciso de demostración. Eso es en


cambio lo que ocupa al lógico; el matemático demuestra, el lógico, estudia lo que hace el matemáticocuando demuestra.

3.2 Introducción a los lenguajes formales.

Ante la posibilidad de no estar familiarizado, con los conceptos básicos que hemos de manejar, lo vamos a introducir de una manera muy didáctica, para luego complementar con lo que vamos a exponer posteriormente, es decir lo relacionado a partir este acapite, puede diferir conceptualmente con respecto a lo expuesto en este estadoinicial, ya que es mejor tener primero una idea equivocada, pero clara y después otra correcta y clara, que tener siempre una idea correcta e ininteligible, entonces por razones que sería difícil justificar ahora, resulta conveniente construir lenguajes para hablar, no solo de lo que ocupa a los matemáticos, sino de cualquier tema, para esto, vamos a construir por ejemplo, un lenguaje para hablar detodas las personas que habitan la Tierra.

3.2.1 En primer lugar será conveniente tener nombres para algunas de estas personas. Por ejemplo “p” puede nombrar a Pedro, “j” puede nombrar a Juan, “a” a Ana y “m” a María. A estos signos que usaremos para nombrar los objetos de los que queremos hablar los llamaremos constantes. Así, “p”, “j”, “a” y “m” son constantes de nuestro lenguaje. Valiéndonos delhecho de que sobre la Tierra hay un número finito de personas, podríamos tomar una constante para nombrar a cada una de ellas, pero no es obligatorio hacerlo, podemos, si queremos, quedarnos con estas únicas cuatro constantes (los matemáticos usan constantes como “0”, “1”, “2”, “”, “”, “π” entre otras muchas).

3.2.2 Podemos ahora tomar signos que expresen hechos, equivalentes a los verbos enlas lenguas naturales. Los llamaremos relatores. Un relator podría ser “H”, que signifique “ser un hombre”, de manera que “Hp” significa “Pedro es un hombre”. Pongamos que “A” significa “ser amigos”, de manera que “Apm” significa “Pedro y María son amigos”. Diremos que “H” es un relator monádico o de rango 1, mientras que “A” es un relator diádico o de rango 2. El rango de un relator, es el númerode complementos que necesita para tener sentido. Por supuesto podemos tomar cuantos relatores queramos de cualquier rango, no nulo. Por conveniencia no vamos a admitir relatores de rango variable. Uno podría pensar que “A” puede usarse, con cualquier número de complementos de manera que “Apm” significa “Pedro y María son amigos”, “Apma” significa “Pedro, María y Ana son amigos”, etc. Noaceptaremos esto, sino que cada relator tendrá
un rango fijo, y así, si decidimos que “A” es diádico, convendremos en que “Apma” no tiene sentido. La razón es que esto nos evitara complicaciones técnicas y, de todos modos, nuestro lenguaje no pierde capacidad expresiva.

En este caso concreto, el intento de afirmación “Apma” puede expresarse correctamente usando varias veces el relator “A” como...