2 2015 APCN 1 Algebra Lineal ICOM UDP

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

MARCEL SAINTARD VERA
SEGUNDO SEMESTRE 2015

Para Curso ÁLGEBRA II - ICOM-UDP

Material N°1

UNIDAD I: MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
INTRODUCCION:
En su intento por explicarse el mundo natural y por mantener el control de la
creciente complejidad que adquieren las sociedades que ha construido, el hombre ha descubierto la
importancia de crear lenguajesapropiados para adentrarse en el estudio de los diferentes fenómenos
naturales y sociales.
Siendo la Matemática uno de los más sofisticados ejemplos de la capacidad
humana de creación lingüística, una de las “lenguas” más dúctiles y de mayor alcance explicativo en
ellas es la de las Matrices. En esta Primera Unidad conoceremos el vocabulario y la gramática de
estos arreglos numéricos.
Normalmentetrabajaremos en los números reales pero todo lo que digamos se
podría reproducir con los números complejos y, en general, con cualquier estructura algebraica de
cuerpo que en este texto anotaremos con una letra IK.
Las Aplicaciones del lenguaje matricial y de su álgebra son muy diversas. Toda
información de doble entrada, toda masa de datos valóricos en varias variables, puede usar como
modelo derepresentación a las matrices y sus propiedades y ventajas de abreviatura para situaciones
de suyo complicadas.
Durante el desarrollo de esta unidad veremos muchos ejemplos ilustrativos de
las ventajas de operatoria matricial.
Para el tratamiento del tema precisaremos de muchas convenciones de
anotación y simbología, es necesario que Usted se entrene rápidamente para familiarizarse con las
novedadessimbólicas. En todo caso, usaremos las notaciones más habituales en nuestro medio y en
nuestros cursos.
1.- LAS MATRICES Y SU ALGEBRA BASICA:
1.1.- DEFINICION DE MATRIZ:
DEFINICION:
Llamaremos Matriz de tamaño m por n (m x n) a un arreglo rectangular de
m·n elementos de un conjunto IK dispuestos en m filas horizontales y n
columnas verticales.
Este conjunto IK habitualmente será una estructura decuerpo con una
suma y una multiplicación bien definidas (números reales o números
complejos).


Ejemplo: 2  1

1

0

4
2

2
3  es una matriz de 2 x 4 con elementos en IR.

0

1

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

MARCEL SAINTARD VERA
SEGUNDO SEMESTRE 2015

Para Curso ÁLGEBRA II - ICOM-UDP

Notación: Amn = (aij) con aijIK, 1  i  m, 1  j  n.

Material N°1

donde: i es índice de fila yendo desdearriba hacia abajo con idesde 1 hasta m.
j es índice de columna yendo de izquierda a derecha con j de 1 hasta n.
aij es el elemento ubicado en el cruce de la i-ésima fila con la j-ésima
columna.
 a11

luego: Amn =  a 21
 

a m1

a12



a 22







am2



a1 n 
a 2 n 
 

a mn 

Si el contexto no es equívoco, sólo usaremos letra latina mayúscula A, B, etc.
Sus elementos seanotan con la misma letra pero en minúscula: aij , bij .
Observaciones a la Definición:
a) Si la matriz tiene sólo una fila o una columna, le llamaremos Matriz Fila o Matriz
Columna y anotaremos:
i) A = [ a1 a2 .... an ] Matriz Fila A1n (sólo con índice de columna).
b1 
 
ii) B = [ b1 b2 .... bn ]t = b2  Matriz Columna Am1 (sólo con índice de fila).
 
 
bm 

Usaremos una t, deTraspuesta, para anotar horizontalmente a una matriz columna para
ahorrar espacio.
b) Al conjunto de todas las matrices de un cierto tamaño mxn, con elementos o componentes
de un cuerpo IK, lo anotaremos IMmn(IK) o simplemente IMmn.
IMmn = { (aij) IMmn , donde aijIK }; i, jIN con 1  i  m, 1  j  n.
En particular las matrices cuadradas, en que m = n, las anotaremos IMn y las
llamaremos matricescuadradas de orden n.
c) Un ejemplo de uso sencillo de la representación matricial es el de las matrices de inventario
que abrevian una tabla bidimensional de doble entrada :
Si una multitienda tiene cuatro sucursales I, II, III y IV en las que se venden los mismos k
productos p1, p2,....., pk, desea resumir el stock (en unidades de venta) que mantiene
inmovilizado en las bodegas de cada local,...