2.3.1 Iteración y convergencia de ecuaciones. Condición de Lipschitz.

2.3.1 Iteración y convergencia de ecuaciones. Condición de Lipschitz.
En matemática, una función f : M → N entre espacios métricos M y N es llamada Lipschitz continua (o se dice que satisfaceunacondición de Lipschitz) si existe una constante K > 0 tal que d(f(x), f(y)) ≤ K d(x, y) para todo x y y en M. En tal caso, K es llamada laconstante Lipschitz de la función. El nombre vienedel matemático alemán Rudolf Lipschitz.

Características y resultados principales
Toda función Lipschitz continua es uniformemente continua y por tanto continua.
Las funciones Lipschitz continuas con constanteLipschitz K = 1 son llamadas funciones cortas y con K < 1 reciben el nombre decontracciones. Estas últimas son las que permiten aplicar el teorema del punto fijo de Banach.
La condición de Lipschitzes una hipótesis importante para demostrar la existencia y unicidad de soluciones para las ecuaciones diferenciales ordinarias. La condición de continuidad de la función por sí sola nos asegura laexistencia de soluciones (Teorema de Peano), pero para poder confirmar también la unicidad de la solución necesitamos también la condición de Lipschitz (Teorema de Picard-Lindelöf).
Si U es unsubconjunto del espacio métrico M y f : U → R es una función Lipschitz continua a valores reales, entonces siempre existe una función Lipschitz continua M → R que extiende f y tiene la misma constante Lipschitzque f.(ver también teorema de Kirszbraun).
Una función Lipschitz continua f : I → R, donde I es un intervalo en R, es casi por todo diferenciable (siempre, excepto en un conjunto demedida deLebesgue cero). Si K es la constante Lipschitz de f, entonces |(f')(x)| ≤ K toda vez que la derivada exista. Contrariamente, si f :I → R es una función diferenciable con derivada acotada, |(f')(x)| ≤ L paratoda x en I, entonces f es Lipschitz continua con constante Lipschitz K ≤ L, una consecuencia del teorema del valor medio.


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