2 bach ciencias DERIVADAS

2º Bach. de Ciencias de la Naturaleza y Tecnología - Curso 2011-12

DERIVADAS
El concepto de derivada de una función y su cálculo ya se vieron el curso pasado. En este
tema recordaremos y ampliaremos lo dado en 1º de bachillerato.
1.3.1

CONCEPTOS BÁSICOS
Definición de derivada en un punto
Dada una función f (x ) y un punto a de su dominio, llamamos derivada de f(x) en x =
f ( a + h) − f ( a )
aal número que resulta de calcular lim
. Si este límite existe y es finito,
h
h →0
se representa por f ′(a ) , y decimos que f ( x) es derivable en x = a .
Ej.: Hallaremos la derivada de la función f ( x) = 3 x 2 −5 en x = 2 .
f ( 2 + h ) − f ( 2)
f ′( 2) = lim
Según la definición
h
h →0
f
(
2
)
Para calcular este límite, calculamos primero
y f ( 2 + h) .
f ( 2) =

f ( 2 + h) =

Entonces
f ′ (2) =lim

h→ 0

h

= lim

h→ 0

h

= lim (
h→ 0

)=

Significado geométrico de la derivada
Como ya sabemos del curso pasado, la derivada de una función en un punto es un número
que mide la rapidez de crecimiento o decrecimiento de la función en ese punto, y esto es así
porque nos da la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto. Recordemos el razonamiento que hacíamos paraverlo.
Consideramos la gráfica de
una función f (x ) en el entorno
de un punto suyo P (a, f (a )) ,
y realizamos el dibujo de la figura adjunta. Hemos dibujado la
recta t, tangente a la gráfica en el
punto P, y la recta r, que corta a
la gráfica en los puntos P y Q. La
abcisa de Q será a más una cierta
cantidad h, y la ordenada será
f (a + h) . Hemos llamado α y β a los ángulos que forman las rectast y r con la horizontal,
y hemos completado el triángulo rectángulo PMQ. Es fácil ver en el dibujo que
f (a + h) − f (a )
tg β =
.
h
Pensemos en qué ocurrirá si tomamos h cada vez más pequeña hacia 0. Al tender h → 0,
el punto Q se aproximará cada vez más al P, la recta r tenderá hacia la t, y el ángulo β tendeβ = α y lim tg β = tg α . Es decir,
rá a confundirse con el α. Dicho de otro modo:hlim
→0
h →0
f ( a + h) − f ( a )
lim
= tg α o, lo que es igual, f ′(a) = pendiente de la recta t.
→
h
h
0
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2º Bach. de Ciencias de la Naturaleza y Tecnología - Curso 2011-12

DERIVADAS
En el ejemplo anterior vimos que, para la función f ( x) = 3x 2 − 5 , f ′(2) =
. Esto nos
dice que en x = 2 la gráfica de esta función tiene una recta tangente con pendiente
. Es
tg
α
=
decir, la recta tangenteforma en ese punto un ángulo α con la horizontal tal que
,o
) o . Sabemos así que en ese punto la gráfica de la función
lo que es igual α = arc tg = (
está creciendo muy rápidamente, ya que su tangente tiene una posición muy próxima a la
vertical.
Función derivada de otra función
La derivada de una función f ( x) en un punto a es un número f ′(a ) , el que sale del líf ( a + h) − f (a )
mite lim, pero si aplicamos la definición en un punto genérico x, no obh
h →0
tenemos un número sino una expresión en x, que es la fórmula de otra función. A esta nueva
función se le llama función derivada de f ( x) , o función derivada primera de f (x ) , y se
representa por f ′(x ) . Es decir:
f(x + h) − f(x)
Función derivada de f(x) = f ′(x) = lim
h
h →0
Ej. 1: Halla, a partir de la definición, lafunción derivada de la función f ( x) = ln x .
f ( x + h) − f ( x )
f ′( x) = lim
Según la definición
h
h →0
 x+h
ln


f ( x) = ln x

ln( x + h) − ln x 0
x 

′
= = ( ¿?) = lim
=

 → f ( x) = lim
h
0
h
h→0
h→0
 f ( x + h) = ln( x + h)
1


1
 x +h 
 x +h h 

= lim  ·ln
 =(¿?) = lim ln
 = (*)
x  
h →0 h
h →0  
 x 


1


 x +h h 
∞

lím 
 =1 = hlím
→0
x  
h→0 
e



Luego



x+h

 x





1 
−1·
 h 

 


1

=e

x

1

.
f ( x + h) − f ( x )
f ′( x) = lim
h
h →0

Según la definición

1.3.2

=e

1 

 x 1
1
f ′( x) = (*) = ln  e  = ·ln e =
x
  x

Ej. 2: Halla la función derivada de la función

 f ( x) =

 f ( x + h) =


h

lím x · h 
h →0 






→


f ′( x) = lim

h→ 0

h

f ( x) =

x

=

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