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VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE
DISTRIBUCIÓN

1.- INTRODUCCIÓN
En este tema se tratará de formalizar numéricamente los resultados de un
fenómeno aleatorio. Por tanto, una variable aleatoria es un valor numérico que
corresponde a un resultado de un experimento aleatorio. Algunos ejemplos son: número
de caras obtenidas al lanzar seis veces una moneda, número de llamadas que recibe un
teléfonodurante una hora, tiempo de fallo de una componente eléctrica, etc.
El estudio que se hará en este tema será análogo al que se hace con las variables
estadísticas en descriptiva. Así retomaremos el concepto de distribución y las
características numéricas, como la media y varianza. El papel que allí jugaba la
frecuencia relativa lo juega ahora la probabilidad. Esto va a proporcionar aspectos ypropiedades referentes a fenómenos aleatorios que permitirán modelos muy estudiados
en la actualidad.

2.- VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL
Dado un experimento aleatorio y asociado al mismo, un espacio probabilístico
(E, Ą ,P), una variable aleatoria es una aplicación Χ : Ε → R , a cada valor de X, del
espacio muestral le hace corresponder un número real. Se dice que X es una variable
aleatoria si paracualquier x perteneciente a R, el conjunto de los sucesos elementales le
hace corresponder un valor que verifica:

∀Χ ∈ R

X (S ) ≤ X

Ejemplo: Consideramos un experimento aleatorio de lanzar una moneda al aire tres
veces y anotamos el resultado. Se define la variable aleatoria X como número de caras
aparecidas en los tres lanzamientos.

2_Apuntes de Estadística II

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a)

Calcular el espaciomuestral y comprobar que es una variable aleatoria.

b)

Calcular los subespacios:

{X ≤ 2,75} {0,5 ≤ X ≤ 1,75}

a) La solución es la siguiente,
E= (C,X,X),(X,C,X),(X,X,C),(C,C,X),(C,X,C),(X,C,C),(C,C,C),(X,X,X)

X (S) ≤ X

0/

X ≤0

(X,X,X)

0 ≤ X ≤1

(C,C,C)(X,C,X)(X,X,C)

1≤ X ≤ 2

(C,C,X)(C,X,C)(X,C,C)

2≤ X ≤3

(C,C,C)

X ≥3

b) {X ≤ 2,75} X<0, 0 ≤ X < 1 , 1 ≤ X < 2

{0,5 ≤ X ≤ 1,75}

es lomismos que decir x=1, 1 ≤ X ≤ 2 .

3.-TIPOS DE VARIABLES ALEATORIAS
Las variables aleatorias se clasifican en discretas y continuas:
o DISCRETA: La variable aleatoria X se dice que es discreta si los números
asignados a los sucesos elementales de E son puntos aislados. Sus posibles
valores constituyen un conjunto finito o infinito numerable. Por ejemplo,
supongamos el experimento consistente enlanzar tres veces una moneda no
trucada; si consideramos la variable aleatoria X=”número de caras obtenidas en
los tres lanzamientos”, los valores que puede tomar esta variable aleatoria son
finitos (0,1,2,3).
o CONTINUA: La variable aleatoria X será continua si los valores asignados
pueden ser cualesquiera, dentro de ciertos intervalos, es decir, puede tomar
cualquier valor de R. Por ejemplo, siconsideramos el experimento aleatoria
consistente en medir el nivel de agua en un embalse y tomamos la variable
aleatoria X=”nivel de agua”, esta puede tomar valores entre 0 y más infinito.

4.- DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
Es un modelo teórico que describe la forma en que varían los resultados de un
experimento aleatorio, es decir, nos da todas las probabilidades de todos los posibles
resultados quepodrían obtenerse cuando se realiza un experimento aleatorio. Se
clasifican como discretas o continuas. En la distribución de probabilidad discreta está
permitido tomar sólo un número limitado de valores. En la continua, llamada función de

Variable aleatoria y función de distribución

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densidad, la variable que se está considerando puede tomar cualquier valor dentro de un
intervalo dado.4.1.- Distribución de probabilidad discreta
Sea un espacio probabilístico y sea X una variable aleatoria discreta que toma
como posibles valores x1,x2,.....xn, se define la distribución de probabilidad de X como
el conjunto de pares (xi, pi) que a cada valor de la variable le asocia una probabilidad,
donde pi= P(X=xi), tal que la suma de todas las probabilidades es igual a la unidad.
Del ejemplo...