2 Problemas

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Se quiere construir una alberca de forma cilíndrica. Hallar las dimensiones
que tiene que tener para que el volumen de agua contenida sea máximo,teniendo en cuenta que solo se cuenta con 300 m2 de azulejo para
alicatarla (suelo incluido).

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Solución

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Superficie de la albercapara alicatar:
300 = π.r2+2.π.r.h
Volumen máximo:
V =π.r2.h
Despejada la altura, h:
h= (300 – π.r2 )/2.π.r
Sustituida en el volumen:
V= π.r2.(300 – π.r2 ) /2.π.r
V= 150.r – 0,5.π.r3  V’=150 – 1,5. π.r2 = 0
r2 = 150 / 1,5. π = 100 / π  r = 10 / √π m. 
h = (300 – π.(10 / √π )2 )/2.π.(10 / √π )= 200.√π /20.π  h = 10 / √π m.

@ Angel Prieto Benito

Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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Una boya formada por dos conos rectos dehierro, unidos
por sus bases ha de ser construida mediante dos placas
circulares de 3 m. de radio. Calcular las dimensiones de
la boya para que su volumensea máximo.
Solución
Los 3 m. de radio de cada placa son las generatrices de
los conos.
Podemos poner r = g
El área empleada en cada cono es:
A= π.r2.n/ 360= π.g2.n/ 360 , siendo n el ángulo útil.
El área de cada cono es también: A = π.R.g
Luego queda: π.g2.n/ 360 = π.R.g
g.n = 360.R  Como g=3  n=120.R
Elvolumen de un cono es: V=π.R2.h / 3
Como R2 = g2 – h2 = 9 – h2
El volumen queda: V=π. (9 – h2).h / 3
Derivando e igualando a cero:
V’= (π/3).(9 – 3 h2) =0  h = √3 m.
El radio será: R = √6 m.
y el ángulo a recortar: n = 120.√6 = 294º

@ Angel Prieto Benito

Apuntes 2º Bachillerato C.T.

n
g

g
h

R

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