2 I

Universidad Politécnica de Madrid E.T.S. de Ingenieros Agrónomos
MECÁNICA DE MATERIALES Y ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Grado: Ingeniería Alimentaria
Convocatoria de JUNIO
13/06/2013
1ª parte: Ejercicio nº 2
Tiempo: 45 min
APELLIDOS Y NOMBRE:…………………………………………………………………………...
Dada la viga de la figura, calcule sus reacciones y leyes de esfuerzos y represente sus
diagramas.
P1

P2

α

A
2m

α

B
1,5 m

2m

Cα = 30 º

2 P1 = P2 = 20 kN.

1,5 m

Puede utilizarse el Prontuario.
NOTA: Este ejercicio tiene una ponderación del 75% en la nota de la primera parte.

1.- Reacciones:

P2y

P1y

P1x = P1.cos30 = 8,66 kN
P2x = P2.cos30 = 17,32 kN
P1y = P1.sen30 = 5 kN
P2y = P2.sen30 = 10 kN

RxA

P1x

A
RyA

RyB
2m

[1]

∑ Fx = 0:

RAx = P1x + P2x = 25,98 kN

[2]
[3]

∑ Fy = 0:
∑ MA = 0:

RAy + RBy +RCy = P1y +P2y = 15
7 RCy + 4 RBy = 5,5 Py2 + 2 Py1 = 65

P2x

B

2m

1,5 m

C
RyC

1,5 m

Sistema hiperestático de primer orden.
[4]

θBizq = θBder
Con: RBy = R´By + R´´By
P1y

MB

RyA

−

P1y ⋅ 4 2
16 EI

+

B

B

A
C2 y C15

P2y

MB

R’yB

R’’yB

C
C2 y C15

RyC

2
4 M B P2 y ⋅ 3 3 M B
=
−
3 EI
16 EI
3 EI

M B + 2P1y
⎧ '
= 3,64 kN
3
⎪R yB =
2
2
MB =
4 P1y + 3 P2 y = 4,55 m kN ⎨
4
8 ⋅ 16
⎪R yA = P1y − 3,64= 1,36 kN
⎩

(

)

1

3 R yC − 1,5 P2 y + M B = 0 ; R yC =

R yB = R yB + R
'

''

1,5 P2 y − M B
3

= 3,48 kN ; R '' yB = P2 y − 3,48 = 6,52 kN

= 10,16 kN

yB

P1y

2.- Ley de esfuerzos
RxA

0 ≤ x ≤ 2m

RxA=25,98 kN A

M

N

A

P1x

P2
P2x

B

C

V

RyA

RyA=1,36 kN

x

N = −R xA = −25,98 kN ⎫
⎪
V = R yA = 1,36 kN
⎬
⎪
M = R yA ⋅ x = 1,36 x ⎭

RyC=3,48 kN

RyB=10,16 kN

N [ kN ]

x

0

-

P1y2 ≤ x ≤ 4m

P2y

P1

-25,98

N

RxA
P1x
RyA

0

-17,32

M

V

V [ kN ]

6,52

x
0

⎫
⎪
V = R yA − P1x = −3,64 kN
⎬
⎪
M = R yA ⋅ x − P1y (x − 2 ) = −3,64 x + 10⎭
N = −R xA + P1x = −17,32 kN

+

1,36
+

x

-

-

-3,48

-3,64

-4,56

4 ≤ x ≤ 5,5 m
P2y
M

-

C

N
P2x

V

x

0
+

RyC

2,72

7-x

+

M [ m·kN ]
5,22

N = − P2 x = −17,32

⎫
⎪
V = − R yC + P2 y = +6,52
⎪
⎬
M = R yC (7 − x ) − P2 y (5,5 − x) = ⎪
⎪
= −30,64 + 6,52 x
⎭

5,5 ≤ x ≤ 7 m
M

C

N
V

RyC

7-x

N = 0 ; V = − R yC = −3,48 ; M = R yC (7 − x ) = 3,48 (7 − x )

2

Universidad Politécnica de Madrid E.T.S. de Ingenieros Agrónomos
MECÁNICA DE MATERIALES Y ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Grado: Ingeniería Alimentaria
Convocatoria de JUNIO
13/06/2013
2ª parte: Ejercicio nº 2
Tiempo: 35 min
APELLIDOS Y NOMBRE:…………………………………………………………………………...
Lasalida de resultados del cálculo de un elemento estructural mediante el programa PORTICOS muestra
los esfuerzos de la relación adjunta.
Calcule las máximas tensiones de tracción, compresión y cortante, sabiendo que la sección transversal del
elemento es la de la figura. (cotas en cm)
NUDO 0

NUDO 1

SEC.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Mmáx
3,14
2,75
2,36
1,97
1,58
1,190,80
0,45
0,15
-0,15
-0,44
-0,69
-0,81
-0,94
-1,09
-1,25
-1,43
-1,62
-1,83
-2,05
-2,39

Qmáx Amáx
0,34 -33,44
0,25 -33,44
0,15 -33,44
0,05 -33,44
-0,05 -33,44
-0,15 -33,44
-0,25 -33,44
-0,34 -33,44
-0,44 -33,44
-0,54 -33,44
-0,64 -46,44
-0,74 -46,44
-0,84 -46,44
-0,93 -46,44
-1,03 -46,44
-1,13 -46,44
-1,23 -46,44
-1,33 -46,44
-1,43 -46,44
-1,53 -46,44
-1,62 -46,44

2

3

6

d3=9
d2=5

2
1

d1=1

4

22

6

NOTA: Este ejercicio tiene una ponderación del 50% en la nota de la segunda parte.
Área total: A = A1 + A2 + A3 = 8 x 2 +2 x 6 + 6 x 2 = 40 cm2
C.d.g. de la sección:
d=

A1 ⋅ d 1 + A2 ⋅ d 2 + A3 ⋅ d 3 184
=
= 4,6 cm
A
40

Momento de inercia de la sección:

Iy =

8 ⋅ 23
2 ⋅ 63
6 ⋅ 23
2
2
2
+ 8 ⋅ 2 (4,6 − 1) +
+ 2 ⋅ 6 (5 − 4,6) +
+ 6 ⋅ 2 (9 − 4,6) = 486,93 cm 4
12
12
12

Momento estático desemisección:
Sy = 8 ⋅ 2 (4,6 − 1) + 2 ⋅

(4,6 − 2)2
2

= 64,36 cm 3

3

Máximas tensiones normales:

sec c. x = 0 ; M max = 3,14 m kN; N = −33,44 kN
sec c. x = 20; M = −2,39 m kN; N max = −46,44 kN
Secc.0

σmax t = −

σmax C

33,44 ⋅ 103
3,14 ⋅ 106
+
⋅ 46 = −8,36 + 29,66 = 21,30 N mm2
2
4
40 ⋅ 10
486,93 ⋅ 10

33,44 ⋅ 103
3,14 ⋅ 106
=−
−
⋅ 54 = −8,36 − 34,82 = −43,18 N mm2
2
4
40 ⋅ 10
486,93 ⋅...