2

UNIDAD 2 Geometría

2.3

2.3 Cuadriláteros

1

Cuadriláteros

OBJETIVOS


Calcular el área y el perímetro del cuadrado, rectángulo, paralelogramo, rombo y trapecio.



Resolver problemas en los cuales se involucran cuadriláteros y triángulos.



Calcular áreas sombreadas en figuras geométricas que contienen triángulos y
cuadriláteros.

Definición
Un cuadrilátero es una figura plana, que tienecuatro lados, cuatro vértices y cuatro ángulos internos.
Dos lados consecutivos se intersectan en un vértice formando así un ángulo interno.
C
D

A









B

Una propiedad de todos los cuadriláteros es que la suma de sus ángulos internos es igual a 360º, es
decir que

        360º
La propiedad anterior se demuestra fácilmente ya que al trazar un segmento que pase por dos vérticesopuestos se forman dos triángulos y como ya se ha establecido en la sección anterior la suma de los ángulos
internos de un triángulo es 180º.
Los cuadriláteros que serán estudiados en ésta sección son el cuadrado, el rectángulo, el
paralelogramo, el trapecio y el rombo.

El cuadrado
El cuadrado es un cuadrilátero que tiene sus cuatro lados iguales, los cuatro ángulos iguales con medida
de 90º y suslados opuestos paralelos

l

l

Las fórmulas para calcular el área y el perímetro de un cuadrado son

A  l2
P  4l
En algunos problemas puede ser útil calcular la diagonal d del cuadrado. Al utilizar el teorema de
Pitágoras

UNIDAD 2 Geometría

2.3 Cuadriláteros

2

d2  l2  l2
 2l2
Extrayendo raíz cuadrada para despejar la diagonal se tiene
d 

2l2

d 

2l

Ejemplo 1: Un cuadrado inscrito enun tríangulo
Se inscribe un cuadrado dentro de un triángulo isósceles de 3 cm en la base y lados iguales de 4 cm. El
cuadrado está inscrito de tal forma que uno de sus lados está sobre la base del triángulo. Calcule el área
y el perímetro del cuadrado.

Solución
La figura muestra el cuadrado inscrito en el triángulo, en donde H es la altura del
triángulo y l es el lado del cuadrado

H l

H

l
3La altura H del triángulo dado se calcula utilizando el teorema de Pitágoras



H2  3
2

2

 42

H 2  16  9  55
4
4
H 

55 
4

55
2

Para calcular el lado del cuadrado note que el triángulo de base l y altura H  l , es
semejante al triángulo de base 3 y altura H. Utilizando proporcionalidad entre sus
lados se tiene

H l  l
H
3
3( H  l )  Hl
3H  3l  Hl
3H  3l  Hl
Factorizando len el lado derecho y despejando l
3H  l(3  H )

l 

3H
3H

UNIDAD 2 Geometría

2.3 Cuadriláteros

Sustituyendo H 

3

55 se obtiene que
2





3  55 
3  55 



  3 55
2
2
l 

55
6

55
6  55
3
2
2
Ahora ya se puede calcular el área y el perímetro del cuadrado
2

9(55)


495
495
cm2
A  l2   3 55  


 6  55 
 6  55 2 36  12 55  55 91  12 55


P  4l  4  355   12 55 cm
 6  55  6  55

El rectángulo
Es un cuadrilátero que tiene sus lados opuestos iguales y paralelos y todos sus ángulos internos miden
90º. En la figura siguiente se muestra un rectángulo de base b y altura h.

h

b

Las fórmulas para calcular el área y el perímetro de un rectángulo son

A  bh
P  2b  2h

Ejemplo 2: Cercado de un terreno
Un agricultor quiere construir unahortaliza rectangular de 112 metros cuadrados para sembrar lechugas.
Si dispone de 30 metros lineales de material de cercado y quiere aprovechar una pared ya construida como
uno de los lados. Determine las dimensiones que debe tener la hortaliza.

Solución
Sean x y y las dimensiones de la hortaliza, como se muestra en la figura siguiente

x
y

UNIDAD 2 Geometría

2.3 Cuadriláteros

4

Como el terrenoes rectangular se tiene que el área es

A  xy
112  xy
Los 30 metros de material de cercado serán utilizados para 3 de los lados del rectángulo
pues donde se encuentra la pared no será necesario cercar, entonces
x  2 y  30
Despejando x de la última ecuación se obtiene
x  30  2 y
Sustituyendo en la primera ecuación y despejando y

112   30  2 y  y
2 y2  30 y  112  0
y2  15 y  56  0...