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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
´
Facultad de Ciencias F´ısicas y Matematicas

´ a la Matematica
´
Introduccion
Universitaria.
520145
´
Cap´ıtulo 1. Logica
y Conjuntos.

FCFM. UdeC.

1.

IMU.520145.

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Logica

Conceptos primitivos
Los valores de verdad VERDADERO (V ) y FALSO (F ) son los
´
conceptos primitivos de la logica.

´
Proposicion
´ es una sentencia declarativa (que afirma o niega
Unaproposicion
algo de algun
´ sujeto) que posee un unico
´
valor de verdad, pudiendo
ser verdadera (V) o bien ser falsa (F).
Usualmente se denotan por letras minusculas
´
p, q , r, s, etc.
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2.

IMU.520145.

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Logica
´
Conectivos logicos
´
Un conectivo logico
es un operador que nos permite obtener
nuevas proposiciones a partir de otras dadas. Los conectivos
´
basicos
son:
´
• negacion

(∼)(“no”)

´
• conjuncion
(∧)

(“y”)

´
• disyuncion

(∨)

(“o”)

• condicional

(→)

• bicondicional
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(↔)

(“si. . . , entonces”)
´ si”)
(“si y solo
3.

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Logica
Tipos de proposiciones
Las proposiciones se clasifican en simples y compuestas, vale
´
decir, las que no incluyen conectivos logicos,
y las que s´ı los
incluyen.
Valores posibles de dos proposiciones dadas

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pq

V

V

V

F

F

V

F

F
4.

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Logica
´ (∼)
Negacion
´ p, se llama negacion
´ de p, y se escribe
Dada una proposicion
´ “no p”. Esto significa que ∼ p es V si p es
∼ p, a la proposicion
F , y ∼ p es F si p es V .
TABLA DE VERDAD

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p

∼p

V

F

F

V

5.

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Logica
´ (∧)
Conjuncion
´ de ellas es la
Dadas dos proposiciones p y q , la conjuncion
´ “p y q ”, lacual se escribe p ∧ q . As´ı, p ∧ q es V si
proposicion
ambas lo son, y p ∧ q es F si al menos una de ellas lo es.
TABLA DE VERDAD.

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p

q

p∧q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F
6.

IMU.520145.

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Logica
´ (∨)
Disyuncion
´ de ellas es la
Dadas dos proposiciones p y q , la disyuncion
´ “p o q ”, la cual se escribe p ∨ q . As´ı, p ∨ q es V si al
proposicion
menos una de ellas lo es, yp ∨ q es F si ambas lo son.
TABLA DE VERDAD

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p

q

p∨q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F
7.

IMU.520145.

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Logica
Condicional (→)
Dadas dos proposiciones p y q , la condicional de ellas es la
´ “si p entonces q ”, la cual se escribe p
proposicion

→ q . Aqu´ı, p se
´ p → q se lee “p es
llama antecedente y q consecuente. Tambien,
´ suficiente para q ”, o bien “q es condicion
´necesaria para
condicion
´ si p es V y q es F .
p”. As´ı, p → q es F solo

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8.

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Logica
Condicional (→)
TABLA DE VERDAD

FCFM. UdeC.

p

q

p→q

p

q

p↔q

V

V

V

V

V

V

V

F

F

V

F

F

F

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

V

9.

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Logica
Bicondicional (↔)
Dadas dos proposiciones p y q , la bicondicional de ellas es la
´ “p s´ı y solo
´ s´ı q ”, la cual seescribe p
proposicion

´
↔ q . Tambien,
´ necesaria y suficiente para q ”. As´ı,
p ↔ q se lee “p es condicion
´ si ambas proposiciones tienen el mismo valor de
p ↔ q es V solo
verdad.

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10 .

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Logica
Definiciones varias
´ compuesta se dice una:
Una proposicion

• TAUTOLOGIA (o TEOREMA LOGICO), si ella es siempre V ,
cualesquiera sean los valores de verdad de lasproposiciones
´
simples que la componen, es decir, si su tabla de verdad solo
contiene valores V .

• CONTRADICCION, si ella es siempre F .
´
• CONTINGENCIA, si no es tautolog´ıa ni contradiccion.
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11 .

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Logica

´ logica
´
Implicacion
Dadas dos proposiciones p y q , se dice que p implica
´ p
´
logicamente
q , si la proposicion

→ q es una tautolog´ıa. En tal
caso se escribe p ⇒q y se lee “p implica q ”.
´
Equivalencia logica
´
Dadas dos proposiciones p y q , se dice que ellas son logicamente
´ p
equivalentes, si la proposicion

↔ q es verdadera. En tal caso
se escribe p ⇔ q y se lee “p es equivalente a q ”.
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12 .

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Logica
Algunas tautolog´ıas importantes

• ∼ (∼ p)

⇔

p

´
(doble negacion)

• p∧q

⇔

q∧p

(conmutatividad de ∧)

• p∨q...