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Estimación e intervalos de confianza (1 muestra)

Ing. Luis Eladio Rodríguez González, M.Eng., M.A.E.

Intervalo Confianza (Para 1 muestra)

MEDIA

Media poblacional
con 𝝈 conocida
X±𝑍

Media poblacional con
𝝈 desconocida, n ≤ 30

𝜎
𝑛

X±𝑡

Media poblacional con
𝝈 desconocida, n ≥ 30

𝑠
𝑛

X±𝑍

PROPORCION

Proporción poblacional
(muestra grande)
𝑝=

𝑋
𝑛

𝑝±𝑍

𝑝(1 − 𝑝)
𝑛

X±𝑡

𝑠
𝑛

*

(𝑁−𝑛)(𝑁−1)

VARIANZA

Proporción poblacional finita

𝑝=

𝑠
𝑛

Media poblacional finita
con 𝝈 desconocida

𝑋
∗
𝑛

(𝑁 − 𝑛)
(𝑁 − 1)

𝑝(1 − 𝑝)
𝑝±𝑍
𝑛

Varianza 𝝈𝟐 poblacional desconocida
𝑛 − 1 𝑠2
𝑛 − 1 𝑠2
2 <
<
𝜎
𝜆2∝/2
𝜆21−∝/2

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Métodos de estimación puntual
Estimador puntual: consiste en un solo valor obtenido de una muestra para estimar el valor de una
población.
Por ejemplo: la media muestral es un estimadorpuntual de la media poblacional desconocida.

En la mayoría de los casos la población es grande y resulta difícil identificar a todos sus miembros por lo que debe
confiarse en la información de la muestra
En otras palabras NO se conoce al parámetro poblacional y debe estimarse su valor a partir del estadístico de la
muestra, Es decir:
•

La media muestral ( X ), sirve para estimar la mediapoblacional ( 𝜇 )

•

Una proporción muestral ( 𝑝 ), sirve para estimar la proporción poblacional ( 𝜋 ó 𝑝)

•

La Desv Std muestral ( 𝑆 ), sirve para estimar la Desv Std poblacional ( 𝜎 )

La diferencia entre la media muestral ( X ) y la media poblacional ( 𝜇 ) podría ser por error de muestreo.
Error muestral = X − 𝜇
No se espera que un estimador logre estimar el

Cuando NO se conoce el valor real de ( 𝜇), hay que

parámetro poblacional sin error. Pero se espera que no

comenzar por decidir cual estimador se utiliza.

esté muy alejado de la realidad

Puede ser X𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 ó X𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎

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Métodos de estimación puntual
EJEMPLO:
Si se obtiene una muestra con los siguientes valores 12, 4, 7, 3, 14. ¿Cuál sería el mejor estimador de 𝜇 ?
X𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 = 8

X𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 = 7

Si la población tiene una media poblacionalsupuesta de
𝜇 = 6, el mejor estimador sería X 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 = 7

Estimador insesgado: Cuando la Dn muestral

C es un estimador sesgado

A

del estimador tenga una media = parámetro

estimado ( X = 𝜇).

C
A es un estimador insesgado

Varianza de un estimador:
Si se tiene 2 estimadores insesgados del
mismo parámetro de población, se elige
el estimador cuya Dn muestral tenga la
menor varianza.

Ambosestimadores A y B NO son
sesgados ya que sus varianzas
están centradas en 𝜇 = 10.

A

B
El estimador A tiene menor
varianza por lo que se prefiere
como estimador de 𝜇

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Estimación por intervalos
Podría ser que ni el estimador insesgado más eficaz estime con exactitud el parámetro de la población.
Muestras grandes = mayor exactitud de la estimación
Por ello es preferible determinar un intervalo dentrodel cual se espera encontrar el parámetro.
La longitud del intervalo indica la precisión de la estimación.
Preferiblemente un intervalo corto con un grado de confianza alto (ejemplo: 99%).
La estimación puntual y la estimación por intervalos están relacionadas ya que la segunda requiere
de la primera para los cálculos

Si se tiene que:

Entonces:

P (Limite de confianza inferior < 𝜇 < Límite deconfianza superior) = 1 - 𝛼

Ejemplo: 1 – 0,05 = 0,95 = 95% = nivel de
confianza
Se tiene una probabilidad de 1 - 𝛼 de seleccionar
una muestra aleatoria que produzca un intervalo
que contenga a 𝜇.

Intervalo de confianza:
Conjunto de valores a partir de una muestra donde existe la posibilidad de que el parámetro

poblacional ocurra, con una probabilidad específica conocida como nivel de confianza.5

Intervalos confianza 1 muestra
Estimación para la media poblacional (con 𝝈 conocida)
La Dn muestral de X está centrada en 𝜇, y en la mayoría de las aplicaciones la varianza es más pequeña que la de otros estimadores*
Por lo tanto es probable que sea una estimación muy precisa de 𝜇, en especial cuando n es grande.

Intervalo confianza 99%

0,495

0,495

Incluyen al parámetro
que se está...