2

Modalidad virtual

Matemática

Estudio de las funciones seno y coseno
f(x) = sen x

Vamos a analizar la función seno a partir de su gráfica:

•

Como los valores de senx corresponden a las ordenadas de los puntos de
una circunferencia de radio 1, se verifica que -1 ≤ senx ≤ 1. Por lo tanto la
imagen es el intervalo [-1; 1]: Im(senx) = [-1; 1]:

•

La función es periódica de período T = 2π .Observamos en el gráfico que
para x y x’ = x+ 2kπ (con k entero) es senx = sen(x + 2kπ)
Por ejemplo para :

•

π
5π
π 5π
.es sen = sen
=1
y
2
2
2 2

En el intervalo [0; 2π] es:
o

C0 = {0¸ π, 2π}

o

C+ = (0; π)

o

C- = (π, 2π)

o

El valor mínimo lo alcanza en x =

3π
y es -1.
2

⎛ 3π
⎞
Es decir Mín = ⎜
;− 1⎟
⎝ 2
⎠
o

El valor máximo lo alcanza en x =

π
y es 1.
2

⎛π ⎞
Es decir Máx = ⎜ ; 1⎟
⎝2 ⎠
⎛π⎞
⎛ 3π
⎞
⎛ π 3π ⎞
Es creciente en ⎜ 0 ; ⎟ y en ⎜
; 2π ⎟ Es decreciente en ⎜ ;
⎟
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝2 2 ⎠
Extendiendo estos observaciones por la periodicidad de la función seno, es:
•

o

C0 = {0 + 2k π ó π + 2kπ; k entero} = {kπ; k entero}

o

C+ = (2kπ;(2k+1)π) con k entero

o

C- = ((2k-1)π, 2kπ) con k entero

o

Tiene mínimos x =

o

Tiene máximos en x =

UBA XXI – MÁTEMATICA - FuncionesTrigonométricas

3π
+ 2kπ (k entero )
2
π
+ 2kπ (k entero )
2

1

Modalidad virtual

Matemática

•

f(x) = cosx

o

π
⎛ π
⎞
Es creciente en ⎜ − + 2kπ;
+ 2kπ ⎟
2
2
⎝
⎠

o

3π
⎛π
⎞
Es decreciente en ⎜ + 2kπ ;
+ 2kπ ⎟
2
⎝2
⎠

La función sen: ℜ→ [-1; 1] es continua en todo su dominio

En forma similar, es posible analizar la función coseno.

•

Como los valores de cosx corresponden a las ordenadas de los puntos deuna circunferencia de radio 1, se verifica que -1 ≤ cosx ≤ 1. Por lo tanto la
imagen es el intervalo [-1; 1]: Im(cosx) = [-1; 1]:

•

La función es periódica de período T = 2π . Observamos en el gráfico que
para x y x’ = x+ 2kπ (con k entero) es cosx = cos(x + 2kπ)

•

•

•

⎫
⎧π
C0 = ⎨ + kπ, con k entero ⎬
2
⎭
⎩
π
⎛ π
⎞
Es positiva en los intervalos de la forma ⎜ − + 2kπ; − + (2k + 1)π ⎟ con k
22
⎝
⎠
entero
π
⎛ π
⎞
Es negativa en los intervalos de la forma ⎜ − + (2k − 1)π; − + 2kπ ⎟ con
2
2
⎝
⎠
k entero.

•

Alcanza su máximo en x = 2kπ y su mínimo en x = π + 2kπ con k entero.

•

Es creciente en ((2k-1)π; 2kπ) con k entero

•

Y decreciente en (2kπ; (2k+1) π) con k entero

UBA XXI – MÁTEMATICA - Funciones Trigonométricas

2

Modalidad virtual

Matemática

Para recordar

De la definiciónde las funciones trigonométricas y a través de los ejemplos, se derivan
estas propiedades:
•

x y x’ son tales que x’ = x + 2 k π (k entero) entonces es:
senx = senx’ y cosx = cosx’

•

sen (-x) = - senx y cos(-x) = cosx

•

-1 ≤ senx ≤ 1

•

senx = sen(x + 2kπ) y cosx = cos(x + 2kπ) con k entero, por ser funciones
periódicas de periodo 2π.

y

-1 ≤ cosx ≤ 1

Vamos a usar estas propiedades en laresolución de ecuaciones del tipo:
sen x = a ó cos x = b
por lo que plantearnos algunos ejemplos.
Ejemplo 1.
Encontrar los valores reales de x que verifican:
a) sen x =

1
y x ∈ [0; 2π]
2

3
y x ∈ [- π; π]
2
c) cos x = - 1 y x ∈ [-π; π]

b). sen x =

Solución
a) sen x =

1
y x ∈ [0; 2π]
2

Debemos hallar un número real x que pertenezca al intervalo [0; 2π] y que además
verifique que su seno esigual a un medio. Esto ocurre cuando x pertenece al
primero o al segundo cuadrante.
En el primer cuadrante,
1
π
sen x = ⇔ x =
2
6
En el segundo cuadrante, el ángulo que tiene
π
el mismo seno que
es su suplementario:
6
π 5π
.
π− =
6 6
Luego en el intervalo [0; 2π] los x que
satisfacen sen x =
x1 =

π
6

1
son:
2
∨

UBA XXI – MÁTEMATICA - Funciones Trigonométricas

x2 =

5
π
6

3

Modalidad virtualMatemática

3
y x ∈ [- π; π]
2
3
π
2π
sen x =
se verifica para x =
+ 2kπ (k ∈Z) ó x =
+ 2kπ (k ∈Z)
2
3
3
Damos valores a k para encontrar los que pertenecen al intervalo [-π;π]

b) sen x =

π
2π
óx=
y ambos pertenecen a [-π;π]
3
3
π
7π
2π
8π
•
Si k = 1, es x = + 2π =
ó x =
y ninguno de ellos
+ 2π =
3
3
3
3
pertenece a [-π;π]
π
5π
2π
4π
•
Si k = -1, es x = − 2π = −
ó x =
y ninguno de ellos
−...