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2.7 Propiedades de los determinantes.
Antes de estudiar las propiedades de los determinantes pensemos en algunos problemas cotidianos en el trabajo cuya solución aparentemente sencilla requieren de un trabajo muy arduo. Iniciemos con un determinante de 4 x 4, ocupamos resolver 4 determinantes de 3 x 3, lo que a su vez implica calcular 4 3=12 determinantes de 2 x 2; lo que equivale a:4!2=242=12. En el caso de un determinante de 5 x 5, ocupamos resolver 5 determinantes de 4 x 4, que requiere dar solución a 54=20 determinantes de 3 x 3, y por último a 54 3=60 determinantes de 2 x 2 lo que equivale a: 5!2=1202=60.Veamos en forma de tabla como aumenta el número de determinantes de 2 x 2 a resolver.
Tamaño del determinante n x n No. de A de 2 x 2=n!2n x n4 x 45 x 56 x 67 x 78 x 89 x910 x 1011 x 11A12 60 360 2,520 20,160 181,440 1,814,400 19,958,400
n x n12 x 1213 x 1314 x 1415 x 1516 x 16A239,500,800 3,113,510,400 4.359 x 10106.538 x 10111.046 x 1013n x n17 x 1718 x 1819 x 1920 x 2025 x 25A1.778 x 10143.201 x 10156.082 x 10161.21645 x 10187.756 x 1024n x n30 x 3035 x 3540 x 4045 x 4550 x 50A1.326 x 10325.167 x 10394.080 x 10475.981 x 10551.5207 x 1064Supongamos que usted esel Director Comercial de una cadena de 20 sucursales en el País, y maneja 20 productos, al poner la información en una matriz de 20 x 20 si desea calcular su determinante por expansión por cofactores nunca terminaría. Suena increíble pero así es. Usted tiene un amigo en un Centro de investigación con una Supercomputadora que realiza un millón de cálculos de determinantes de 2 x 2, por segundo; lehabla y le pide que por favor le resuelva su determinante por expansión por cofactores. Después de unos minutos le regresa la llamada y le dice que es imposible lo que le pide y que le enviará por internet el motivo. Usted recibe lo siguiente.
Tiempo de solución en años=x A20 x 20=20!2A2 x 2=1.21645 x 1018 A2 x 2Usando el análisis dimensional se tiene que:
x=A20 x 201.21645 x 1018 A2 x2A20 x 201 seg.1 x 106A2 x 21 hr.3,600 seg.1 día24 hr.1 año365 díasx=38,573 años El resultado anterior no nos permite resolver el A20 x 20 por expansión por cofactores. Para resolver el A20 x 20 hay otros caminos que permiten reducir la cantidad de trabajo y lograr la solución en un lapso relativamente pequeño. A lo largo de este subtema estudiaremos las propiedades de los determinantes que nosayudarán a resolver el problema del determinante de 20 x 20. Veamos entonces uno de los teoremas más importantes de los determinantes.
TEOREMA 1. Sean las matrices A y B de n x n. Entonces
det AB=detAdetBExpresado en palabras es: El determinante del producto de 2 matrices es igual al producto de los determinantes de las 2 matrices. Del lado izquierdo tenemos una multiplicación de matrices seguidadel cálculo del determinante; del lado derecho solo es una multiplicación de escalares.
Demostración. Para la demostración haremos dos cálculos uno de 2 x 2 y otro de 3 x 3.1. Sea A=6158 B= 2 4-3-5 Calcule det AB=detAdetBAB=6158 2 4-3-5= 9 19-14-20 det AB= 9 19-14-20=86A=6158=43 B= 2 4-3-5=2 detAdetB=43∙2=86
det AB=detAdetB=86 Si se verifica elteorema.
2. Sea A=2 4-13-1 04 7-2 B= 1 0-4-5-3-1 2-6-2 Calcule det AB=detAdetBAl calcular AB con el software MATHCAD se obtiene:
Compruebe la multiplicación.
AB=-20-6-10 8 3-11-35-9-19 det AB=-20-6-10 8 3-11-35-9-19=-432A=2 4-13-1 04 7-2=3 B= 1 0-4-5-3-1 2-6-2=-144 detAdetB=3-144=-432det AB=detAdetB=-432 Si se verifica el teorema. Chequelos cálculos.
NOTA: El determinante de la suma no siempre es igual a la suma de los determinantes.
detA+B≠detA+detB3. Sea A=6158 B= 2 4-3-5 Calcule detA+B≠detA+detBA+B=6158+ 2 4-3-5=8523 detA+B=8523=14A=6158=43 B= 2 4-3-5=2 detA+detB=43+2=45
detA+B=14 detA+detB=45 ∴ detA+B≠detA+detB Si se verifica
TEOREMA 2.
detA=detATDemostración....