20 RAICES DE ECUACIONES

U N I D A D I I.-

RAÍCES DE ECUACIONES.

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II.1 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio en una variable, no
constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces como su grado del polinomio,
dado que las raíces se cuentan con sus multiplicidades.
De manera equivalente, el
cuerpo de los complejos es cerrado para las operacionesalgebraicas.
En otras palabras, dado un polinomio complejo p de grado n > 0, la ecuación p (z) = 0
tiene exactamente n soluciones complejas, contando multiplicidades.
El teorema se establece comúnmente de la siguiente manera: todo polinomio en una
variable con coeficientes complejos de grado al menos uno tiene al menos una raíz
compleja.
Aunque ésta en principio parece ser una declaración másdébil, implica
fácilmente la forma completa por la división polinómica sucesiva por factores lineales.
Actualmente el nombre “teorema” es considerado un error por muchos matemáticos,
puesto que es más un teorema en análisis que en álgebra.
HISTORIA
Pedro Rothe (Petrus Roth), en su libro Arithmetica Philosophica (publicado en 1608),
escribió que una ecuación polinómica de grado n (a coeficientes reales)puede tener n
soluciones. Alberto Girardo, en su libro L'invention nouvelle en l'Algebre (publicado en
1629), aseveró que una ecuación de grado n tiene n soluciones, pero no menciona que
dichas soluciones deban ser números reales. Más aún, él agrega que su aseveración es
válida "salvo que la ecuación sea incompleta", con lo que quiere decir que ninguno de los
coeficientes del polinomio sea igual acero. Sin embargo, cuando explica en detalle a qué
se está refiriendo, se hace evidente que el autor piensa que la aseveración siempre es
cierta; en particular, muestra que la ecuación.

a pesar de ser incompleta, tiene las siguientes cuatro soluciones (la raíz 1 tiene
multiplicidad 2)

Leibniz en 1702 y más tarde Nikolaus Bernoulli, conjeturaron lo contrario.
Como se mencionará de nuevo másadelante, se sigue del teorema fundamental del
algebra que todo polinomio con coeficientes reales y de grado mayor que cero se puede
escribir como un producto de polinomios con coeficientes reales del cual sus grados son 1
ó 2. De todas formas, en 1702 Leibniz dijo que ningún polinomio de tipo x4 + a4 (con a
real y distinto de 0) se puede escribir en tal manera. Luego, Nikolaus Bernoulli hizo la
mismaafirmación concerniente al polinomio x4 − 4x3 + 2x2 + 4x + 4, pero él recibió una
carta de Euler en 1742 en el que le decía que su polinomio pasaba a ser igual a:

Donde α es la raíz cuadrada de
Mientras que:

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El primer intento que se hizo para demostrar el teorema lo hizo d'Alambert en 1746. Su
demostración tenía un fallo, en tanto que asumía implícitamente como cierto un teorema(actualmente conocido como el teorema de Puiseux) que no sería demostrado hasta un
siglo más tarde. Entre otros Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) y Laplace
(1795) intentaron demostrar este teorema.
A finales del siglo XVIII, se presentaron dos nuevas pruebas, una por James Wood y otra
Finalmente, en 1806 Argand
por Gauss (1799), pero ambas igualmente incorrectas.
publicó una prueba correctapara el teorema, enunciando el teorema fundamental del
álgebra para polinomios con coeficientes complejos.
Gauss produjo otro par de
demostraciones en 1816 y 1849, siendo esta última otra versión de su demostración
original.
El primer libro de texto que contiene la demostración de este teorema fue escrito por
Cauchy. Se trata de Course d'anlyse de l'École Royale Polytechnique (1821). La prueba esla debida a Argand, pero sin embargo en el texto no se le da crédito a Argand.
Ninguna de las pruebas mencionadas más arriba son constructivas. Es Weierstass quien
por primera vez, a mediados del siglo XIX, menciona el problema de encontrar una prueba
constructiva del teorema fundamental del álgebra. En 1891 publica una demostración de
este tipo. En 1940 Hellmuth Knesser consigue otra prueba de...