200508181919200

FUNCIÓN LINEAL


Son las funciones de la forma y = mx, donde m es constante de proporcionalidad, denominado pendiente.

Variaciones de la pendiente

Al graficar las funciones y = 0,5x; y = 1,5x; y = 2,5x; y = 3x.



se puede observar que todas las rectas pasan por el origen y sus puntos se encuentran en el primer y tercer cuadrante.

1) Al graficar y = -x; y = -1,5x; y = -2,5x; y = -3x.observamos que las rectas pasan por el origen y sus puntos se encuentran en el segundo y cuarto cuadrante.
Para ambos casos el coeficiente m nos indica la variación de proporcionalidad entre la variable dependiente y la variable independiente.

Generalizando, si x e y son las coordenadas de un punto perteneciente a una recta L que pasa por el origen, entonces existe m tal que y = f(x) = mx,denominada función lineal.

También, viendo los gráficos concluímos que si m > 0, entonces y = mx es una función creciente y que si m < 0, entonces y = mx es una función decreciente. Por lo tanto, el valor de m nos indica la orientación de la recta.

Función Afín

Las variables x e y están relacionadas por una función afín si satisfacen una ecuación de tipo y = mx + n, en la cual m y n sonconstantes.

Concepto de Recta

Una recta es la representación gráfica de una función de primer grado. Toda función de la forma y = ax + b de IR en IR representa una linea recta.

Se denomina a x variable independiente ya que puede tomar cualquier valor, mientras que y se llama variable dependiente, ya que su valor está determinado por el valor que tome x.

Si un par de valores (x,y) pertenece a la recta,se dice que ese punto satisface la ecuación.

Ejemplo: El punto (7,2) satisface la ecuación y = x - 5, ya que al reemplazar queda 2 = 7 - 5 lo que resulta verdadero.

La ecuación de la recta puede ser representada en dos formas:

Forma General: ax + by + c = 0

Forma Principal: y = mx + n

Pendiente de una Recta

En la ecuación principal de la recta y = mx + n, el valor de m corresponde a lapendiente de la recta y n es el coeficiente de posición.

La pendiente permite obtener el grado de inclinación que tiene una recta, mientras que el coeficiente de posición señala el punto en que la recta interceptará al eje de las ordenadas.

Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo que indica que interceptará al eje y en el punto (0,7).

Cuando se tienen dospuntos cualesquiera (x1,y1) y (x2,y2), la pendiente queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas de dos puntos de ella y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea



Una recta que es paralela al eje x, tiene pendiente 0.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Sean P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos de una recta, la ecuación de la recta que pasa por dospuntos es:


que también se puede expresar como



Ejemplo:
Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(1,2) y Q(3,4)







y - 2 = x - 1

x - y + 1 = 0

Ecuación de la recta dado punto-pendiente

La ecuación de la recta que pasa por dos puntos está determinada por


pero



luego reemplazando en la ecuación anterior se obtiene



despejando, obtenemos que:

y - y1 = m(x - x1)Ejemplo: Determina la ecuación general de la recta de pendiente -4 y que pasa por el punto (5,-3)

y - y1 = m(x - x1)

y - (-3) = -4(x - 5)

y + 4 = -4x + 20

Luego la ecuación pedida es 4x + y - 16 = 0.

Rectas Paralelas, coincidentes y perpendiculares

Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posición distintos, o sea

L1: y = m1x + n1

L2: y = m2x + n2,Entonces L1 // L2 sí y sólo si m1 = m2; n1 distinto a n2

Ejemplo: Las rectas y = 4x + 5 ; y = 4x - 2 son paralelas.

Dos rectas son coincidentes cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posición iguales, o sea

L1: y = m1x + n1

L2: y = m2x + n2,

Entonces L1 coincidente con L2 sí y sólo si m1 = m2 y n1 = n2

Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es...