2009 Circuito RCL

Curso de electrónica y microelectrónica para científicos

Circuitos RCL
Circuito RLC alimentado por corriente continúa
En esta sección, se estudia el comportamiento de un circuito LCR conectado a
una voltaje constante. Se estudia el estado transitorio y su evolución hacia el
estado estacionario después de un cierto tiempo teóricamente infinito.
El voltaje constante lo aplicamos a través de ungenerador de onda cuadrada.

De acuerdo con la ley de Kirchhoff La
ecuación del circuito será
VR1+VR2+ Vc + VL = V(1)
Donde V es el voltaje de la fuente
•
•
•

Como todos los elementos están conectados en serie la corriente es la
misma para todos, entonces VR1=iR1 y VR2=iR2.
En el condensador C el potencial esta dado por Vc=q/C
En la autoinducción la diferencia de potencial es igual a la femautoinducida VL cambiada de signo.
VL = − L

di
dt

Remplazando en la ecuación (1) tenemos,
L

di
q
+ ( R1 + R2 ) i +
=V
dt
C

Con i=dq/dt y R=R1+R2
Se tiene:

Derivando con respecto al tiempo
Notas de clase
Profesora Lucelly Reyes

L

di
q
+ Ri +
=V
dt
C
L

d 2i
di i
+ R +
= 0
2
dt C
dt
1

Curso de electrónica y microelectrónica para científicos
Usando la transformada de Laplace la ecuación se puedeescribir como:
Ls 2 + Rs +

1
= 0
C

Esta expresión se conoce como ecuación característica. Esta se satisface con
las dos raíces dadas por la forma cuadrática
− R 1
4L − R
s1 , s 2 =
±
R2 −
=
±
2L 2L
C
2L

2

1
 R
 2 L  − LC

Para convertir la ecuación del circuito en una forma estándar, se define el valor
de la resistencia que hace que desaparezca el radical de la ecuación, como la
resistenciacritica Rcritica. Este valor se encuentra resolviendo la ecuación
2

1
 RCritica 
 2 L  = LC



⇒

RCritica = 2

L
C

A continuación se presentaran dos definiciones: se define ξ como relación de
amortiguación, carece de dimensiones. La relación de amortiguamiento es la
relación que hay entre la resistencia real y el valor crítico de la resistencia.

ξ =

R
RCritica

=

R C
2 L

La otradefinición es
1
LC
En donde ωn es la frecuencia natural no amortiguada o, sencillamente, la
frecuencia natural. Ahora el producto 2ξωn tiene el valor

ω

n

=

2ξ ω

n

=

R
L

Sustituyendo en la ecuación del circuito, se obtiene
d 2i
di
+ 2ξ ω n + ω n2 i = 0
2
dt
dt
Obsérvese que en estas manipulaciones se han substituido sencillamente dos
nuevas constantes en lugar de los coeficientes de laecuación. Como se vera
más adelante, estas nuevas constantes son apropiadas para interpretar la
geometría de la localización de las raíces en el plano s, y además, tienen un
significado especial para comprender la respuesta.
A continuación se vera la ubicación de las raíces de la ecuación como:
Notas de clase
Profesora Lucelly Reyes

2

Curso de electrónica y microelectrónica para científicos

s 2 + 2ξ ωn s + ω n2 i = 0 ⇒ s1 , s 2 = − ξ ω n ± ω

n

ξ

2

−1

Ello indica que existen dos formas de la solución exponencial que son

i1 (t ) = k1e s1 .t

i2 (t ) = k 2 e s 2 .t

Ahora bien, si i1 e i2 son soluciones de la ecuación diferencial, la suma i=i 1+i2 es
también una solución.

i (t ) = k1e

 − ξ ω


n

+ω

n

ξ

2

− 1  .t


+ k 2e

 − ξ ω


n

−ω

n

ξ

2

− 1  .t


Antes desimplificar esta solución se examinara el comportamiento de las
raíces de la ecuación característica conforme la relación de amortiguación, sin
dimensiones, ξ varia desde cero (corresponde a R=0) hasta infinito (que
corresponde a R→∞). Es evidente que existen tres formas diferentes para las
raíces:
Caso 1: ξ>1, las raíces son reales entonces. R > RCritica (sobreamortiguado)
Caso 2: ξ=1, las raíces sonreales y repetidas. R = RCritica (Críticamente
amortiguado)
Caso 3: ξ<1, las raíces son complejas y conjugadas.

Caso 1
Conociendo las condiciones iniciales las constantes arbitrarias k1 y k2 se
pueden evaluar para un problema especifico. Para cuando R>RCritica el sistema
RCL esta sobreamortiguado en t=0, entonces i(0+)=0, porque la corriente no
puede cambiar instantáneamente en el inductor; en...