20092SICM019412_1

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
CÁLCULO DIFERENCIAL
Examen de la Primera Evaluación
II Término – 4/diciembre/2009

Examen:
Lecciones:
Deberes:
Otros:

Nombre: R Ú B R I C A

DEL

EXAMEN

Paralelo: ___

Total:

TEMA No. 1 (5 PUNTOS)

 x 2 − 2, x ∈ [ 0,3]
Sea f ( x ) = 
, determine los valores de a y b para que la recta
ax + b, x ∈ ( 3,5]
y = ax + btenga pendiente −2 y f sea continua en x = 3 .
1.a.- Planteamiento
El valor de la pendiente es a = −2 , por lo tanto: y = −2 x + b, ∀x ∈ ( 3,5] .
Para que f sea continua en x = 3 , debe cumplirse que: lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 3)
x →3

x →3

lim f ( x ) = lim+ ( −2 x + b ) = −6 + b

Al igualar las ecuaciones, se obtiene:

lim f ( x ) = lim− ( x 2 − 2 ) = 7 = f ( 3)

−6 + b = 7 ⇒ b = 13

x→3+

x →3

x →3−

x →3

Esto es: a = −2 ∧ b = 13 , y la regla
de correspondencia sería:

 x 2 − 2, x ∈ [ 0, 3]
f ( x) = 
−2 x + 13, x ∈ ( 3,5]
y al bosquejar su gráfica, se obtendría:

1.b.- Rúbrica

Insuficiente
No desarrolla
procesos coherentes
que conducen a
determinar los
valores de a y b
0

Desempeño
Regular
Satisfactorio
Intenta parcialmente Establece el valor
establecer la
de le pendientey
continuidad en
plantea la
continuidad en
x=3
x = 3 y no
concluye
1–2
3–4

Realizado por MHMJ y GABP

Excelente
Determina los
valores de a y b ,
desarrollando
procesos correctos

5

Página 1

TEMA No. 2 (5 PUNTOS)

1
; ∀x ≠ 1 , determine la regla de correspondencia y el máximo dominio
1− x
posible de g ( x ) = f ( f ( x ) ) .
Sea f ( x ) =

2.a.- Planteamiento

f ( f ( x )) =

1
1
1
1 − x x −1=
=
=
=
1− f ( x) 1− 1
−x
x
1 − x −1
1− x
1− x

La función g está definida: ∀x ∈ » − {0,1} .
2.b.- Rúbrica

Insuficiente
No desarrolla
procesos coherentes
que conducen a
determinar la regla
de correspondencia
correcta
0

Desempeño
Regular
Satisfactorio
Maneja el concepto
Realiza las
de composición de
operaciones
funciones, pero no
adecuadas, pero no
llega a determinar la especifica el
regla dedominio
correspondencia
1–2
3–4

Excelente
Determina la regla
de correspondencia
adecuadamente y
especifica el dominio
correcto
5

TEMA No. 3 (5 PUNTOS)
Un estudiante de Cálculo Diferencial resolvió la siguiente indeterminación ∞ − ∞ ,
obteniendo:

lim

x →+∞

(

)

x 2 − x − 1 − ax − b = 0

A partir de este resultado, determine de ser posible, los valores de a y b .

Realizado por MHMJ y GABPPágina 2

3.a.- Planteamiento

lim

x →+∞

(

)

x 2 − x − 1 − ( ax + b ) = lim

x →+∞

(

(x
= lim
x →+∞

)

x 2 − x − 1 − ( ax + b ) ⋅
2

− x − 1) − ( ax + b )

x 2 − x − 1 + ( ax + b )
x 2 − x − 1 + ( ax + b )

2

x 2 − x − 1 + ( ax + b )

= lim

x 2 − x − 1 − a 2 x 2 − 2abx − b 2
x 2 − x − 1 + ( ax + b )

x →+∞

(1 − a ) x − (1 + 2ab ) x − (1 + b )
= lim
2

x →+∞

2

2

x 2 − x − 1 + ( ax + b )

2Para que el límite planteado sea 0, los coeficientes que multiplican a x y x en el numerador
deben ser correspondientemete iguales a 0, por lo cual, se plantean las siguientes
ecuaciones:

1 − a2 = 0

− (1 + 2ab ) = 0

a −1 = 0

1 + 2ab = 0

2

( a − 1)( a + 1) = 0
( a − 1 = 0 ) ∨ ( a + 1 = 0 ) 
( a = 1) ∨ ( a = −1)

2ab = −1
b=−

1
2a

Como estamos analizando el comportamiento de la funciónen +∝, el valor de

( a = −1)

se

descarta porque produciría que el límite planteado sea igual a ∝, entonces la solución única
1
es ( a = 1) ∧  b = −  .
2

3.b.- Rúbrica

Insuficiente
No desarrolla
procesos coherentes

0

Desempeño
Regular
Satisfactorio
Separa los límites y
Plantea el límite,
utiliza
establece las
manipulaciones
condiciones para
algebraicas
a y b en forma
incorrectasadecuada, pero no
llega a resultado
alguno
1–2
3–4

Realizado por MHMJ y GABP

Excelente
Plantea el límite y
resuelve
correctamente las
ecuaciones para
determinar los
valores de a y b
5

Página 3

TEMA No. 4 (5 PUNTOS)
Demuestre formalmente que:

lim
x →7

x 2 − 9 x + 14
=5
x−7

4.a.- Planteamiento
Utilice la definición:

x 2 − 9 x + 14
x 2 − 9 x + 14
lim
= 5 ≡ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, 0 < x − 7 < δ ⇒
−5...