2011 06 03

Examen de Fundamentos Matemáticos para ADE
3 de junio de 2011

Pregunta 1
Un ciudadano que planea jubilarse dentro de 25 años ha decidido depositar en el banco una
cantidad constante A al final de cada uno de los 100 trimestres siguientes y una vez transcurridos, quiere retirar trimestralmente 3000! durante los siguientes 120 trimestres. Suponga
que el tipo de interés nominal anual es del 4%compuesto trimestralmente con pagos al final
del trimestre.

Apartado (a)

(4 puntos)

Calcule el valor actual de la suma de todos los ingresos trimestrales de A euros realizados
durante los 25 años.

Solución del apartado (a)
Aplicando el concepto de valor actual la suma pedida está dada por:
AH1 + rL-1 + AH1 + rL-2 + AH1 + rL-3 + ... + AH1 + rL-100 =
AH1 + rL-1 I1 + H1 + rL-1 + H1 + rL-2 + ... + H1+ rL-99 M = AH1 + rL-1

1-I1+rM-100
1-I1+rM-1

donde r = 0.04ê4 = 0.01. La suma anterior corresponde a la suma de los 100 primeros términos de una progresión geométrica de primer término 1 y razón H1 + rL-1 . El valor de la expresión anterior es:

r=

0.04
4

;

100

‚ A * H1 + rL-j êê FullSimplify H*directamente con Mathematica*L
j=1

A * H1 + rL-1 *

1 - H1 + rL-100
1 - H1 + rL-1

êêFullSimplify

H*sustituyendo en la fórmula anterior*L
63.0289 A

63.0289 A

Apartado (b)

(4 puntos)

Calcule el valor actual de la cantidad total que piensa retirar del banco durante los 30 años
después de jubilarse.

Solución del apartado (b)
Razonando igual que antes, aplicando el concepto de valor actual la suma pedida está dada
por:
3000 H1 + rL-101 + 3000 H1 + rL-102 + 3000 H1 + rL-103 + ... + 3000 H1+ rL-220 =
3000 H1 + rL-101 I1 + H1 + rL-1 + H1 + rL-2 + ... + H1 + rL-119 M =
3000 H1 + rL-101

1-I1+rM-120
1-I1+rM-1

siendo r = 0.04ê4 = 0.01. La suma anterior corresponde a la suma de los 120 primeros términos de una progresión geométrica de primer término 1 y razón H1 + rL-1 . El valor de la expresión anterior es:

r=

0.04
4

;

220

‚ 3000 * H1 + rL-j êê FullSimplify H*directamente conMathematica*L
j=101

3000 * H1 + rL-101 *

1 - H1 + rL-120
1 - H1 + rL-1

êê FullSimplify

H*sustituyendo en la fórmula anterior*L
77 307.2

77 307.2

Apartado (c)

(3 puntos)

¿Qué valor debe tomar A para llevar a cabo su valor de ahorro?

Solución del apartado (c)
Para llevar a cabo su plan de ahorro, se deberá cumplir que el valor actualizado de sus ahorros sean mayor o igual que el valoractualizado de sus gastos una vez se jubile. Impondremos que se cumpla la igualdad:
63, 0289 A = 77 307, 2
es decir, deberá ahorrar
Solve@63.0289 * A ã 77 307.2, AD
88A Ø 1226.54<<

Pregunta 2
Considérese la propagación de una enfermedad muy contagiosa entre la población de una isla
con tamaño de población N.
Una porción de la población viajó fuera de la isla y regresó infectada de la enfermedad. Nosgustaría predecir el número de personas X = XHtL que han sido infectadas en el instante t para
conocer cómo va a evolucionar la enfermedad. Considérese el modelo, denominado modelo
logístico

dX
dt

= k X HN - XL

Apartado (a) (2 puntos)
Enuncia las dos hipótesis más importantes que están incluidas en el modelo.

Solución del apartado (a)
Denotaremos por:
XHtL = el número de infectados en elinstante t
N - XHtL = el número de sanos en el instante t
La ecuación diferencial ordinaria (e.d.o.) del modelo nos indica que la tasa de variación instantánea del número de infectados en el un instante t, dada por X ' HtL, es directamente proporcional (siendo k la constante de proporcionalidad) al número de encuentros entre el número
de sanos y enfermos en dicho instante (este término está representadopor el producto
XHtL HN - XHtLL). El modelo también puede interpretarse en la siguiente forma. Si escribimos la
e.d.o. como X ' HtL = aHtL XHtL, siendo aHtL = kHN - XHtLL, vemos que el modelo nos indica que la
tasa de variación instantánea del número de infectados en el un instante t, dada por X ' HtL, es
directamente proporcional al número de infectados, siendo en este caso el factor de...