_2011 09 16_ALEM

ÁLGEBRA LINEAL Y ESTRUCTURAS MATEMÁTICAS
Convocatoria Septiembre 2011

(16/09/2011)

Alumno:

Grupo:

DNI:

Ejercicio 1. Sea f : Z50 → Z50 la aplicación definida por f(x) =13x + 7.
¿Es f una aplicación inyectiva?. ¿Es sobreyectiva?. ¿Es biyectiva?. Razona las respuestas.
Ejercicio 2.
Resuelve, si es posible, el siguiente sistema decongruencias:
7x ≡
9x ≡

15
23

mód 20
mód 46

Ejercicio 3. Resuelve, si es posible, la siguiente ecuación diofántica:
6x + 10y + 15z = 7
Ejercicio 4. Calcula, si es posible, u(x),v(x) ∈ Z7 [x] tales que


1
 5
Ejercicio 5. Sea A = 
 3
2
tiene inversa para el producto.

(x2 + 3x + 3) · u(x) + (x3 + 2x + 4) · v(x) = x + 2

2 1
1
0 a
2 
 ∈ M4 (Z7). Estudia para que valores del parámetro a la matriz A
0 5 a+1 
1 1
1

Ejercicio 6. Sea U el subespacio de (Z5 )3 generado por los vectores (2, 3, 1) y (1, 4, 3), y W elsubespacio de
x + 2y + z = 0
(Z5 )3 de ecuaciones
.
2x + y + 3z = 0
Calcula unas ecuaciones cartesianas o implícitas del subespacio U + W.
Ejercicio 7. Dado el sistema deecuaciones con coeficientes en Q
x
ax

− ay +
+ 2y +

(a + 1)z
z

=
4
= −1

Discútelo según los valores del parámetro a, y resuélvelo para a = −1.
Ejercicio 8. Dada la base B ={(1, 0, 1, 1); (0, 1, 1, 0); (1, 1, 1, 1); (0, 1, 0, 1)} de (Z2 )4 , calcula las coordenadas
del vector (0, 0, 0, 1) en la base B.
Ejercicio 9. Da una aplicación lineal f :Q2 → Q4 tal que (1, −1) ∈ N(f) y f(3, 2) = (2, −1, 3, −2). Describe
explícitamente cuanto vale f(x, y) para cualquier vector (x, y) ∈ Q2 .



4 3 2
Ejercicio 10. Sea A = 0 3 1  ∈ M3 (Z5 ). Estudia si es posible encontrar una matriz regular P de forma
1 2 1
que P−1 · A · P sea una matriz diagonal, y en caso afirmativo, da una.

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