2011_I_EVALUACIONES_TODAS

Compendio de evaluaciones del ciclo 2011-I
´
Equipo de MATEMATICA
II ciclo 2011-I
1

1

prohibida su reproducci´
on total o parcial

1

Matem´
aticas II
Ciclo 2011-1

Nombres: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C´
odigo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Secci´
on:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S´
abado 16 deabril del 2011
PREG.
PUNTAJE

1

2

3

4

5

NOTA

Primera pr´
actica calificada
Est´a estrictamente prohibido el uso de calculadoras y el pr´estamo de materiales.
No hay consultas; si considera que alguna pregunta est´a errada o mal propuesta corrija el
enunciado y justifique su proceder.

1. Considere la sucesi´on (xn )n∈N definida por xn =

5n − 1
.
n

a) Escribir los 5 primeros t´erminos.(0.5 pt.)

b) Probar que para cualquier n ∈ N, xn+1 − xn > 0.

(1.5 pt.)

c) ¿La sucesi´on (xn )n∈N es acotada superiormente? Justifique.

(1 pt.)

d ) ¿La sucesi´on (xn )n∈N es convergente? Justifique.

(1 pt.)

Soluci´
on:
a) x1 = 4, x2 = 29 , x3 =
b) Como xn =

5n−1
n

14
,
3

=5−

x4 =

1
n

19
,
4

x5 =

24
5

para todo n ∈ N. Entonces:

xn+1 − xn = 5 −

1
1
1
1
1
−5+ = −
=
n+1
n
n n+1
n(n + 1)Luego xn+1 − xn > 0 para todo n ∈ N.
c) Como xn = 5 − n1 , para todo n ∈ N, entonces 5 − xn = n1 > 0, para todo n ∈ N,
luego 5 > xn , para todo n ∈ N, esto u
´ ltimo nos dice que la sucesi´on (xn )n∈N
est´a acotado superiormente por el 5.
d) De los items (b) y (c), tenemos que la sucesi´on (xn ) es monotona creciente y acotada superiormente, luego por el axioma de Completitud (xn )n∈N esconvergente.

1

2. En la cadena de supermercados Plaza Centro en el mes de enero del a˜
no 2011 empezaron
a vender dos tipos nuevos A y B. Se sabe que en el mes de enero la utilidad que gener´o la
venta de cada uno de los quesos fue de 2000 soles.
a) Suponga que la utilidad que genera la venta del queso A se duplica cada mes.
Obtenga la expresi´on de la utilidad que genera la venta del queso A enfunci´on
del n´
umero de meses transcurridos desde que empez´o su venta.
(1.5 pt.)
b) Suponga que la utilidad que genera la venta del queso B aumenta de modo que
cada mes hay 5000 soles m´as que en el mes anterior. Obtenga la expresi´on de
la utilidad que genera la venta del queso B en funci´on del n´
umero de meses
transcurridos desde que empez´o su venta.
(1.5 pt.)
c) ¿Cu´al de los quesos ser´a elpreferido por el vendedor en el futuro (luego de algunos
meses)? Explique.
(1 pt.)
Soluci´
on:
a) Sea la funci´on utilidad que genera el queso A igual a: x(n), donde n representa la
cantidad de meses transcurridos, como en el mes de enero se gener´o una utilidad
de 2000 soles y esta se duplica cada mes, entonces esta utilidad es representada
por una sucesi´on geom´etrica de razon 2:
x(n) =2000(2)n−1.
b) Sea la funci´on utilidad que genera el queso B igual a: y(n), donde n representa la
cantidad de meses transcurridos, como en el mes de enero se gener´o una utilidad
de 2000 soles y esta aumenta en 5000 soles cada mes, entonces esta utilidad es
representada por una sucesi´on aritm´etica de razon 5000:
y(n) = 2000 + (n − 1)(5000).
c) Comparando ambas utilidades, se observa que hasta el mes deAbril la utilidad
generada por el queso B es mayor que la generada por el queso A, y apartir del
mes de Mayo la utilidad del queso A es mucho mayor que la del queso B, por lo
cual apartir de Mayo, el queso A es el preferido para el vendedor.

2

3. Sea (an )n∈N una sucesi´on tal que a1 = 1 y an+1 = 18 an , para todo n ∈ N.
a) Justifique porque esta sucesi´on es convergente

(1 pt.)

b) Encuentre L =l´ım an .

(1 pt.)

c) Determine a partir de qu´e t´ermino de la sucesi´on se cumple que

(2 pt.)

n→∞

|an − L| <

1
.
251

Soluci´
on:
a) Observando el comportamiento de la sucesi´on:
1
1 2
1 n−1
a1 = 1, a2 = , a3 = ( ) , · · · , an = ( )
8
8
8
De donde la sucesi´on es monotona decreciente, por que es parte de la exponencial
con base menor que 1, adem´as es acotada inferiormente por el 0....