2011 Sem1 Solemne 1

Facultad de Ingeniería-Escuela de Ingeniería Industrial
Miércoles 27 de abril de 2011
ICI30144 OPTIMIZACIÓN
DESARROLLO PRUEBA SOLEMNE NRO.1
Profesores: Paul Bosch, Fernando Paredes y Pablo Rey
Instrucciones:
1.- Debe responder en forma ordenada y justificar cada una de sus respuestas.
2.- Cada problema tiene 2.0 Puntos y, el puntaje de cada ítem aparece señalado en la Pregunta misma.
3.- Sinapuntes de ninguna naturaleza. SIN CALCULADORA.
4.- Tiempo:100 minutos. SIN CONSULTAS : La comprensión de los problemas es parte de la materia.
Problema Nro.1 ( 2.0 Puntos )
Una empresa manufacturera se dedica a fabricar 2 productos. Los recursos que requiere para fabricar estos productos
son horas-hombre de operarios y 2 tipos de materia prima. La empresa debe programar la producción mensual
durante4 periodos semanales consecutivos. Los requerimientos de recursos, la disponibilidad semanal de éstos y las
utilidades unitarias en unidades monetarias (u.m.) de cada producto aparecen en la siguiente tabla:
Horas-hombre
Mat. Prima 1
Mat.Prima 2
Utilidad unitaria ( u.m.)

Producto A
1
7
3
4

Producto B
1
2
15
11

Disponibilidad
80
120
100

La empresa tiene la posibilidad de guardar unidades de lasmaterias primas 1 y 2 de un periodo al siguiente (aunque
no está obligado a hacerlo); si lo hace tiene un costo unitario por periodo de 1 y 0.8, (u.m.), respectivamente. La
producción de un cierto periodo puede usarse para satisfacer la demanda de ese periodo o de periodos posteriores. Si
se guardan productos para periodos siguientes, se debe pagar un costo unitario de 1.5 y 1.2 (u.m.),respectivamente,
para los productos A y B (suponga que este costo se paga por cada unidad que aparece en inventario, al final de cada
periodo).
Las demandas de cada producto en cada periodo son conocidas y valen DAt y DBt, para todo t  T = {1,2,3,4}. No es
necesario satisfacer estas demandas completamente: por cada unidad de producto A que no se satisfaga se incurre
en un costo de 3 (u.m.), mientras quepor cada unidad faltante de producto B el costo es de 7 (u.m.).
Formule un modelo de optimización que permita planificar la producción mensual de la empresa de forma
conveniente.
Problema Nro.2 ( 2.0 Puntos )
a) Analice la convexidad del conjunto S = { (x,y)  R2 / x2 + y2 ≤ 4 ; 2x + y ≥ 2 } .
2
2
2
b) Analice la convexidad de la función f(x,y) = ax + y +xy en R , para todos los valores delparámetro a

 R.

Problema Nro. 3 ( 2.0 puntos )
Considere el problema de optimización:
2
2
2
P) Min f(x , x , x )  x  x  x
1 2 3
1
2
3

x1  x 2  x 3  3
a) (1.0 punto) Muestre, sin resolver, que el problema P) admite solución óptima.
b) (1.0 punto) Reformule el problema P) como un problema sin restricciones en dos variables y resuelva este último.
Justifique la optimalidad de la(s) solución(es)óptima(s) encontrada(s).

DESARROLLO
Problema Nro. 1
Variables de decisión:
cantidad de producto i a producir en el período t,  i  I = { A, B } ,  t  T = { 1,2,3,4 }
cantidad de producto i a almacenar en el período t,  i  I = { A, B } ,  t  T = { 1,2,3,4 }
cantidad de materia prima j a almacenar en el período t,  j  J= { 1,2 } ,  t  T = { 1,2,3,4 }
cantidad de producto i a vender en elperíodo t,  i  I = { A, B } ,  t  T = { 1,2,3,4 }

xit =
yit =
zjt =
uit =

Modelo
Max



4uAt + 11uBt – 1.5yAt – 1.2yBt – z1t – 0.8z2t – 3( DAt – uAt ) – 7( DAt – uAt )

t T

1. disponibilidad horas hombre
xAt + xBt ≤ 80 ,

 t T

2. disponibilidad materia prima 1
7xA1 + 2xB1 + z11 ≤ 120 ( periodo 1 )
7xAt + 2xBt + z1t ≤ 120 + z1t-1,  t = 2, 3, 4 ( restantes periodos )
3. disponibilidadmateria prima 2
3xA1 + 15xB1 + z21 ≤ 100 ( periodo 1 )
3xAt + 15xBt + z2t ≤ 100 + z2t-1,  t = 2, 3, 4 ( restantes periodos )
4. satisfacción de demandas
uit ≤ Dit ,

 i  I = { A, B } ,  t  T

5. balance de inventario
xi1 – ui1 = yi1 ,

 i I

xit + yAt-1 – uit = yit ,

( periodo 1 )

 i  I,  t  T ( restantes periodos )

6. no negatividad en las variables
xit ≥ 0, yit ≥ 0, zjt ≥ 0, uit ≥...