20111SICM006048_1

Escuela Superior Politécnica del Litoral
Instituto de Ciencias Matemáticas
Primera Evaluación de Algebra Lineal
Solución y Rúbrica
1.- (4 puntos) Defina:
a) Subespaciovectorial .- Sea (V,+,®α) unespacio vectorial sobre el campo K. Sea W un subconjunto de V. Si W junto a las mismas operaciones definidas en V es también un espacio vectorial entonces W es un SUBESPACIO de V.
b) ConjuntoLinealmente independiente de vectores.- Sea S = { v1,v2,..,vk} un conjunto de vectores del espacio vectorial V. S es un conjunto LINEALMENTE INDEPENDIENTE de vectores si y solo sí el vector neutro de V seobtiene como combinación lineal de los vectores de S solo si todos los escalares de la combinación lineal deben ser cero.

2. (6 puntos) Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas yjustifique formalmente su calificación:
a)Sea V un espacio vectorial. Sea S un conjunto linealmente independiente en V. Si w es un vector
cualquiera de V, entonces es linealmente independiente enV. (FALSO)
CONTRAEJEMPLO
Por hipótesis es un conjunto L.I., entonces podemos escribir:
Siendo arbitrario, lo elijo para que pueda escribirse como combinación lineal de los vectoresanteriores, así:

Luego, por lo que es un conjunto linealmente dependiente.

b)Si A es una matriz cuadrada nxn entonces, A+AT es una matriz simétrica.(VERDADERO)
Sea B= A+AT, entonces BT = (A+AT )T =AT+ (AT)T= AT + A = A+AT = B por lo tanto B es simétrica. También pueden trabajar con las entradas de la matriz suma B y probar que bij=bji para toda i,j.


3.-(20 puntos)Sea un espacio vectorial realcon operaciones definidas tal que:


Sea un subespacio vectorial de .
Justificando su respuesta,determine lo siguiente:
a. Si .
b. Una base, de .
c.
SOLUCION:
a.-




Por lo tanto:

El mismo quees un sistema inconsistente, por lo que
b.-
Para determinar una base, se puede verificar que el conjunto generador de es linealmente dependiente ya que:



Por lo tanto:

El mismo que es un...