20114520H

Tranformada de Laplace

La transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemático francés [[Pierre-Simon Laplace]], que la presentó dentro de su [[teoría de la probabilidad]]. En 1744,[[Leonhard Euler]] había investigado un conjunto de integrales de la forma:

: z = \int X(x) e^{ax}\, dx
: z = \int X(x) x^A \, dx

— como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero noprofundizó en ellas y pronto abandonó su investigación. [[Joseph Louis Lagrange]], admirador de Euler, también investigó ese tipo de integrales, y las ligó a la teoría de la probabilidad en un trabajo sobrefunciones de densidad de probabilidad de la forma:

: \int X(x) e^{- a x } a^x\, dx,

— que algunos historiadores interpretan como auténticas transformadas de Laplace.

Este tipo de integralesatrajeron la atención de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo la idea de Euler, trató de emplear estas integrales como soluciones de ecuaciones diferenciales. Parece ser que en 1785 dio un paso más allá,y reenfocó el problema para en vez de usar las integrales como soluciones, aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a las transformadas de Laplace tal y como hoy en día se entienden. Usó una integralde la forma:

: \int x^s \phi (s)\, dx,

— análoga a la [[transformada de Mellin]], con la que transformó una ecuación diferencial en una ecuación algebraica de la que buscó su solución. Planteóalguna de las principales propiedades de su transformada, y de alguna forma reconoció que el método de [[Joseph Fourier]] para resolver por medio de [[series de Fourier]] la [[ecuación de difusión]]podría relacionarse con su transformada integral para un espacio finito con soluciones periódicas.

Pese al logro, las transformadas de Laplace pronto cayeron en un relativo olvido, al haber sidopresentadas en el campo de la probabilidad –ajeno a su moderna aplicación en la física y la ingeniería–, y ser tratadas sobre todo como objetos matemáticos meramente teóricos.

La moderna...