2012 13 Soluciones Control A

Ingenier´ıa de Sistemas de Comunicaciones. Grupo 61.
´
Control Algebra
Lineal, Temas 1 y 2

26/10/2012

Soluciones
PROBLEMA 1
Responda si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsasargumentando en cada caso su respuesta.
(a) FALSO. Un sistema de ecuaciones homog´eneo (Ax = 0) es siempre compatible pues al menos
tiene la soluci´
on trivial x = 0. Adem´as toda matriz siempre se puedetransformar a su forma
escalonada reducida.
(b) VERDADERO. El TEOREMA 2.12 establece que cuando el sistema Ax = b es consistente,
el conjunto de soluciones del sistema homog´eneo Ax = 0 y del no homog´eneoAx = b son
traslaciones el uno del otro, luego los dos sistemas tienen el mismo n´
umero de soluciones. Otra
forma de justificarlo es que si el sistema Ax = b tiene m´as de una soluci´on, es porquela forma
escalonada reducida de la matriz [A| b] tendr´a alguna variable libre, y por tanto tambi´en la matriz
[A| 0].
(c) VERDADERO. Los vectores que forman la matriz A tienen m componentes. Por tantocomo
no puede haber m´
as de m vectores linelamente independientes el n´
umero de vectores de la base
de Col(A) es siempre menor o igual que m.
(d) FALSO. La matriz A tiene dimensiones m × n lo quequiere decir que las columnas de A son
vectores v ∈ Rm . S´
olo se cumplir´
a la afirmaci´on cuando m = n.
PROBLEMA 2
(a) Reducimos la matriz ampliada a una forma escalonada reducida para encontrar x

 
 
 

4
0 12 20
2
0 6 10
2 0 6 10
1 0 3 5
 −2 16 10 6  ∼  −1 8 5 3  ∼  0 8 8 8  ∼  0 1 1 1  .
2 −4 2 6
1 −2 1 3
0 6 6 6
0 0 0 0
De aqu´ı observamos que la matriz escalonada tiene 2pivotes y una variable libre. Podemos obtener la soluci´
on en funci´
on de ese par´ametro libre (que denominaremos µ) en forma param´etrica
vectorial





5
−3
x =  1  + µ  −1 
0
1
(b) Paraencontrar una base del espacio columna de A, vemos que la matriz escalonada tiene dos
columnas pivotes, lo que quiere decir que la dimensi´on del subespacio columna de A (o rango

de A) es dos. Los...