201204727 7

´cnica Federico Santa Mar´ıa
Universidad Te
´ lisis Nume
´rico - Departamento de Matema
´ ticas
Ana

´todos de interpolacio
´ n e integracio
´n
Tarea N ◦ 5 - Me
FECHA DE ENTREGA: Martes 26 de Mayohasta las 23:55 hrs.
Nombre:Felipe Moreno Rojas
Rol:201204727-7
Paralelo C´
atedra: 200

1

Problemas

1.1

Interpolaci´
on

Considerar la siguiente colecci´
on de puntos:
y
x

4,5
-1

6,0
0

1,5
1-6,0
2

Encontrar los polinomios de Lagrange y Newton que interpolan a y como funci´on de x. Corroborar que
ambos resultados son iguales.

1.2

Integraci´
on num´
erica

Considere la siguiente integral:3 ex ·sen(x)
1+x2 dx
0

a) Calcule el valor aproximado de la integral obtenido mediante el m´etodo del trapecio con n=6 subintervalos.
b) Calcule el valor aproximado de la integral a trav´es de lacuadratura de Gauss-chebyshev con 6 puntos.
c) Comente los resultados obtenidos por ambos m´etodos y comp´arelos con el valor exacto de la integral
¿Que puede concluir?

2

Soluci´
on

1.1 Primero seproceder´
a a encontrar el polinomio de Lagrange en base a los siguientes puntos entregados
por el enunciado:

(x0 ; f (x0 )) = (−1; 4.5)
(x1 ; f (x1 )) = (0; 6.0)
(x2 ; f (x2 )) = (1; 1.5)
(x3 ; f (x3)) = (2; −6.0)

1

Se proceden a calcular los coeficientes Li :
(x−x1 )(x−x2 )(x−x3 )
x3 −3x2 +2x
(x0 −x1 )(x0 −x2 )(x0 −x3 ) =
−6
x3 −2x2 −x+2
0 )(x−x2 )(x−x3 )
L1 = (x(x−x
=
2
1 −x0 )(x1 −x2 )(x1−x3 )
x3 −x2 −2x
0 )(x−x1 )(x−x3 )
L2 = (x(x−x
=
−2
2 −x0 )(x2 −x1 )(x2 −x3 )
x3 −x
0 )(x−x1 )(x−x2 )
L3 = (x(x−x
=
6
3 −x0 )(x3 −x1 )(x3 −x2 )

L0 =

Como el polinomio de Lagrange tiene la forma
n

f (xi) · Li

P (x)L =
i=0

Se procede a multiplicar cada coeficiente con cada imagen correspondiente, para finalmente obtener el
siguiente polinomio:

P (x)L =

x3
− 3x2 − 2x + 6
2

Ahora se efectuar´
ael c´
alculo del polinomio de interpolaci´on de Newton.
Para ello, se define al polinomio de interpolaci´on de Newton como:

P (x)n = b0 + b1 (x − x0 ) + b2 (x − x0 )(x − x1 ) + ... + bn (x − x0...