2013

Matemática III
(ECO)
Semana 7

La Antiderivada
Método de Integración por Sustitución
Método de Integración por Partes

La Antiderivada

Método de Integración por
Sustitución
Método de Integraciónpor Partes

Integración por sustitución o cambio de variable
Este método es aplicable a integrales de la forma:

I = ∫ f (g (x )).g ′(x )dx
Procedimiento:

u = g (x )
du = g ′(x )dx

I = ∫ f (u )duEjemplos:
a)

∫ 8 x (3 x
2

ex

)

16

− 1 dx

3

b)

∫

c)

ln 2 x
∫ x dx

d)

2 senx
cos
x
e
dx
∫

3

1+e

x

dx

(ln x )2 dx
e) ∫
3
x [1 + (ln x ) ]

Casos más complicados
Lo interesante delmétodo es aplicarlo a casos en los que
es difícil ver cómo se puede expresar el integrando de la
forma:

f (g (x ))g ′(x )

Ejemplos:

x− x
∫ x + x dx

3
2
x
1
+
x
dx
∫

Ejercicio: resuelva las siguientesintegrales

1.

2
x
∫ 3 − x dx

cos x
2. ∫
dx
a + bsenx

1 2/ x
3. ∫ 2 e dx
x
a ex
4. ∫
dx
x
a + be

5.

6.

∫ (x

∫

−x

4

e

9

)(x

2 αt

αt

e +1

dt

3x − 2
7. ∫
dx
x −3

5

)

12

− 1 dx

LaAntiderivada
Método de Integración por Sustitución

Método de Integración por Partes

Integración por partes
Si u y v son funciones de x, entonces

(u ⋅ v )´= u ⋅ v´+ v ⋅ u´
Al despejar
Integrando

u⋅ v´ se tiene

u ⋅ v´= (u ⋅ v )´−v ⋅ u´

∫ u ⋅ v´dx = ∫ u ⋅ vdx − ∫ v ⋅ u´dx

∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du
Nota:
dv debe de contener a dx

Integración por partes
Este método consiste en identificar au como
una parte de la integral y dv con el resto, con
la pretensión de aplicar la formula obtenida, la
integral del segundo miembro sea más fácil
de obtener que la primera.

∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅du

Ejemplo:

Halle

u

∫ xe

2x

dv

dx

Solución:

Hacemos u = x; dv = e dx
1 2x
entonces.... d u = d x; v = e
2
2x
2x
2x
1
1
por tanto ....∫ x e d x = 2 x e − 2 ∫ e d x
2x

= xe
1
2

2x

− e
1
42x

+C

Ejemplo:
u

Halle
Solución:

∫ ln x dx

Hacemos u = ln x;

dv

dv = dx

1
entonces.... du = dx; v = x
x
1
por tanto ....∫ ln x dx = x ln x − ∫ x dx
x

= x ln x − x + C

Ejercicio:...