2014

Ciudad Guayana, Noviembre del 2013
ÍNDICE

INTRODUCCIÓN 1
INTERPOLACIÓN 2
INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE 3
MÉTODO DE JACOBI 4
METODO DE GAUSS-SEIDEL 5
CONCLUSIÓN 7


INTRODUCCIÓN


En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos una cierta regularidad en la forma de producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha de un fenómenoen situaciones que no hemos medido directamente.

Al revisar estos datos, podríamos preguntarnos si se podría usar para estimar razonablemente, algunas predicciones de este tipo pueden obtenerse usando una función que ajuste los datos. Este es un tema llamado Interpolación.

En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es una forma depresentar el polinomio que interpola un conjunto de puntos dados.


INTERPOLACIÓN 
Se denomina interpolación a la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos.
La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos.
Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación esla aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función más simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la función obtenida que si evaluamos la función original, si bien dependiendo de las características del problema y delmétodo de interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido.
En todo caso, se trata de, a partir de n parejas de puntos (xk,yk), obtener una función f que verifique

a la que se denomina función interpolante de dichos puntos. A los puntos xk se les llama nodos. Algunas formas de interpolación que se utilizan con frecuencia son la interpolación lineal, la interpolaciónpolinómica (de la cual la anterior es un caso particular), la interpolación por medio de spline o la interpolación polinómica de Hermite.






INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
 
Este método de interpolación consiste en encontrar una función que pase a través de n puntos dados.
 
Un polinomio en series de potencias es:
 
g(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
 
La fórmula de interpolaciónde Lagrange de orden n es
 

 
Ejemplo. Del siguiente conjunto ajuste un polinomio con n = 3 puntos para el valor de t = 251
x
y
94
929
205
808
371
860
 

 
y(251) = 890.5

MÉTODO DE JACOBI 
Es un método iterativo, usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo . El algoritmo toma su nombre del matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi consisteen usar fórmulas como iteración de punto fijo.
La sucesión se construye descomponiendo la matriz del sistema  en la forma siguiente:

Donde:
, es una matriz diagonal.
, es una matriz triangular inferior.
, es una matriz triangular superior.
Partiendo de , podemos reescribir dicha ecuación como:

Luego,

Si aii ≠ 0 para cada i. Por la regla iterativa, la definición del Método deJacobi puede ser expresado de la forma:

donde  es el contador de iteración, Finalmente tenemos:

Cabe destacar que al calcular xi(k+1) se necesitan todos los elementos en x(k), excepto el que tenga el mismo i. Por eso, al contrario que en el método Gauss-Seidel, no se puede sobreescribir xi(k) con xi(k+1), ya que su valor será necesario para el resto de los cálculos. Esta es la diferencia mássignificativa entre los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. La cantidad mínima de almacenamiento es de dos vectores de dimensión n, y será necesario realizar un copiado explícito.



METODO DE GAUSS-SEIDEL
Al igual que el Método de Jacobi, El Método de Gauss-Seidel consiste en hacer iteraciones, a partir de un vector inicial, para encontrar los valores de las incógnitas hasta llegar a una...