2014315

LEIDY MILENA CARRILLO HERNANDEZ 2101729
DIANA PATRICIA AMADO SANCHEZ 2081699

ANÁLISIS NUMÉRICO GRUPO: H1
INGENIERÍA DE SISTEMAS
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

TRABAJO INTERPOLACIÓN LAGRANGE – MÍNIMOS CUADRADOS – SPLINE CÚBICO

DATOS
X
Y
40
119
50
577
52.49
1039
60
239
65
151

1. Interpolación Polinomios de Lagrange:

Un polinomio de interpolación deLagrange, p, se define en la forma: 


Ecuación1
En donde L0, L1,…, Ln son polinomios que dependen sólo de los nodos tabulados, pero no de las ordenadas. La fórmula general del polinomio Li es: 

Ecuacion2
Para el conjunto de nodos, estos polinomios son conocidos como funciones cardinales. Utilizando estos polinomios en la Ecuación1 obtenemos la forma exacta del polinomio de interpolación deLagrange.

Utilizando el siguiente código generamos el polinomio de Lagrange ‘y’
X=input('ingrese los valores de X: ');
Y=input('ingrese los valores de Y: ');
y=0;
syms x;
for i=1:numel(X)
L=1;
for j=1: numel(X)
if(j~=i)
L=L*((x-X(j))/(X(i)-X(j)));
end
end
y=y+(L*Y(i));
end
y
figure
ezplot(y,[40 65])
hold on
plot(X,Y,'o')
grid on

y =
119*(x/10 - 5)*(x/20 -3)*(x/25 - 13/5)*((100*x)/1249 - 5249/1249) - 239*(x/10 - 5)*(x/5 - 13)*(x/20 - 2)*((100*x)/751 - 5249/751) - 577*(x/10 - 4)*(x/10 - 6)*(x/15 - 13/3)*((100*x)/249 - 5249/249) + 151*(x/5 - 12)*(x/15 - 10/3)*(x/25 - 8/5)*((100*x)/1251 - 5249/1251) + 1039*((100*x)/249 - 5000/249)*((100*x)/1249 - 4000/1249)*((100*x)/751 - 6000/751)*((100*x)/1251 - 6500/1251)








2. Interpolación mínimos cuadradoRecta de regreses ion por mínimos cuadrados
Sea la muestra observada de valores del par de variables (X, Y):
(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), ..., (xn, yn)
Se trata de obtener los valores a y b de manera que se minimice la función:

La solución es la siguiente:

Sustituyendo los valores a y b anteriores, tenemos la recta:
y = a + bx
Código en matlab
close all
clear all
clcX=input('ingrese los valores de X: ');
Y=input('ingrese los valores de Y: ');
y=0;
syms x;
sumx2=0;
sumxy=0;
sumx=0;
sumy=0;
for i=1:numel(X)
sumx2=sumx2+(X(i)^2);
sumxy=sumxy+(X(i)*Y(i));
sumx=sumx+X(i);
sumy=sumy+Y(i);
end
A=[sumx2 sumx sumxy; sumx numel(X)-1 sumy];
[fil col]=size(A);
flag=0;
for i=1:fil % solución por gauss para a y b
if A(i,1)==1
flag=1;
if i~=1for k=1:col
temp=A(1,k);
A(1,k)=A(i,k);
A(i,k)=temp;
end
end
end
end
if flag==0
temp=1/A(1,1);
A(1,:)=A(1,:)*temp;
end
pivot=A(2,1);
A(2,:)=A(2,:)-(pivot*A(1,:));
b=A(2,3)/A(2,2);
a=A(1,3)-(A(1,2)*b);
x2=40:65;
y2=a*x2+b;


Grafica que representa el polinomio de Lagrange en azul y su ajuste representadopor la recta.

b = -90.0799 a = 9.2913








3. Trazadores cúbicos o Spline cúbico

Dados n +1 datos:

Una spline cúbica que interpola estos datos, es una función S(x) definida como sigue:



Donde cada Si(x) es un polinomio cúbico Si(Xi)=Yi , para toda i=0,1,…,n y tal que S(x) tiene primera y segunda derivada continuas en [X0,Xn]
interpolación spline de grado k, para la tabla dedatos, es una función S(x) tal que :
i) S(xi ) = yi , para toda i =0,1,…,n .
ii) S(x) es un polinomio de grado ≤ k en cada subintervalo [xi-1,xi ]
iii) S(x) tiene derivada continua hasta de orden k −1 en [ x0,xn].


Solución
Definimos un polinomio cúbico en cada uno de los intervalos que se forman:

S(x)=

A continuación, hacemos que se cumpla la condición de que la spline debe pasar por lospuntos dados en la tabla. Así, tenemos que:



*


















Ahora calculamos la primera derivada de s(x) :





Al igual que en el caso de las splines cuadráticas, se presentan ecuaciones que pueden presentar discontinuidad en los cambios de intervalo; las posibles discontinuidades son los puntos donde se cambia de intervalo, en este caso x tomara el valor de 50, 52.49 y 60
Para...