2015 03 2420151118Apunte MEM205

Universidad de Chile
Facultad de Econom´ıa y Negocios

Apunte del Curso

M´
etodos Matem´
aticos III

Autores:
Natalia Arancibia
Christopher Araya
Pablo Guti´errez1
Hern´an Herrera
H´ector Herrera
Mohit Karnani
Vania Mart´ınez
Javiera Recabal
Anibal Toro
Pablo Troncoso
Jos´e Uribe
1Editor del apunte, por tanto todos los errores son de mi responsabilidad, si encuentras alguno favor mandar uncorreo a pgutiecu@fen.uchile.cl

i

Borrador al 30 de abril de 2014

´Indice general

Introducci´
on

1

Parte 1. T´
opicos en c´
alculo multivariado
Cap´ıtulo 1.

Repaso de c´
alculo univariado

5

1.1.

Continuidad

5

1.2.

Derivadas

6

1.3. Propiedades de la operatoria de derivadas
1.3.1. Derivadas Conocidas
1.3.2. Consideraciones b´
asicas para derivar

6
6
7

1.4.

Crecimiento ydecrecimiento

7

1.5.

Optimizaci´
on

8

1.6. Ejercicios Resueltos
1.6.1. Ejercicio 1
Respuesta
1.6.2. Ejercicio 2
Respuesta
1.6.3. Ejercicio 3
Respuesta
1.6.4. Ejercicio 4
Respuesta
1.6.5. Ejercicio 5
Respuesta

9
9
9
9
9
9
10
10
10
11
12

1.7. Ejercicios Propuestos
1.7.0.1. Ejercicio 1
1.7.0.2. Ejercicio 2
1.7.0.3. Ejercicio 3
1.7.0.4. Ejercicio 4
1.7.0.5. Ejercicio 5
1.7.0.6. Ejercicio 6
1.7.0.7.Ejercicio 7
1.7.0.8. Ejercicio 8
1.7.0.9. Ejercicio 9

13
13
13
13
14
14
14
14
14
14
iii

´Indice general

iv

1.7.0.10.

Ejercicio 10

15

Cap´ıtulo 2. Introducci´
on al concepto de funciones en varias variables
Ejemplos de Funciones de Varias Variables
2.1. Funciones de varias variables importantes
2.2. Dominio de una funci´
on de varias variables
2.3. Propiedades de las funciones de varias variables2.4. Composici´
on de Funciones
2.5. Definici´
on de norma
2.6. Funciones en R2 : Representaci´
on gr´
afica
2.7. Curvas de nivel
2.7.1. Isocuanta
2.7.2. Isocosto
2.8. Ejercicios Resueltos
2.8.1. Ejercicio 1
Respuesta
2.8.2. Ejercicio 2
Respuesta
2.8.3. Ejercicio 3
Respuesta
2.8.4. Ejercicio 4
Respuesta
2.8.5. Ejercicio 5
Respuesta
2.9. Ejercicios Propuestos
2.9.0.1. Ejercicio 1
2.9.0.2. Ejercicio2
2.9.0.3. Ejercicio 3
2.9.0.4. Ejercicio 4
2.9.0.5. Ejercicio 5
2.9.0.6. Ejercicio 6
2.9.0.7. Ejercicio 7
2.9.0.8. Ejercicio 8
2.9.0.9. Ejercicio 9
2.9.0.10. Ejercicio 10

17
17
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20
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25
25
25
25
25
25

Cap´ıtulo 3. Derivadas multivariadas
3.1. Derivadas parciales
3.2. Derivadas parciales de segundo orden
3.3. Continuidad en n3.3.1. Continuidad en un punto
3.4. Diferencial
3.5. Continuidad y diferenciabilidad
3.6. Gradiente
3.7. Derivada direccional
3.8. Regla de la Cadena
3.9. Teorema de la funci´
on Impl´ıcita
3.10. Teorema de Schwartz

27
27
29
30
31
33
34
34
35
37
38
39

´Indice general

v

3.11. Ejercicios Resueltos
3.11.1. Ejercicio 1
Respuesta
3.11.2. Ejercicio 2
Respuesta
3.11.3. Ejercicio 3
Respuesta
3.11.4.Ejercicio 4
Respuesta
3.11.5. Ejercicio 5
Respuesta

39
39
40
40
40
41
41
43
43
43
43

3.12. Ejercicios propuestos
3.12.0.1. Ejercicio 1
3.12.0.2. Ejercicio 2
3.12.0.3. Ejercicio 3
3.12.0.4. Ejercicio 4
3.12.0.5. Ejercicio 5
3.12.0.6. Ejercicio 6
3.12.0.7. Ejercicio 7
3.12.0.8. Ejercicio 8
3.12.0.9. Ejercicio 9
3.12.0.10. Ejercicio 10

44
44
44
44
44
45
45
45
45
45
45

Cap´ıtulo 4.

Concavidad yConvexidad

47

4.1.

Concepto General

47

4.2.

Caracterizaci´
on de la Concavidad y Convexidad

48

4.3.

Recordando el concepto de Matriz Hessiana

48

4.4.

Concavidad y Convexidad en funciones de varias variables

49

4.5. Ejercicios resueltos
4.5.1. Concavidad del Binomio Generalizado de Newton
Respuesta
4.5.2. Convexidad Exponencial
Respuesta
4.5.3. Convexidad Compuesta
Respuesta
4.5.4.Demostraci´
on por Definici´
on
Respuesta
4.5.5. Rendimientos Decrecientes a Escala
Respuesta

49
49
50
50
50
50
50
50
51
51
51

4.6. Ejercicios propuestos
4.6.0.1. Ejercicio 1
4.6.0.2. Ejercicio 2
4.6.0.3. Ejercicio 3
4.6.0.4. Ejercicio 4
4.6.0.5. Ejercicio 5
4.6.0.6. Ejercicio 6
4.6.0.7. Ejercicio 7
4.6.0.8. Ejercicio 8
4.6.0.9. Ejercicio 9
4.6.0.10. Ejercicio 10

51
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