2015 0RESOLUCIÓN DE LOGARÍTMICAS

MATEMÁTICA BÁSICA - Ciclo 2015-2

ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Definición: Si N y b son números positivos y si b  1 entonces:
log b N  L  N  b L
Vemos que el concepto de un exponente y el de unlogaritmo son simplemente dos
formas diferentes de ver exactamente la misma cosa.
Ejemplo:
log 2 8  3



23  8

PROPIEDADES:
log x
1. a a  x , x  0
2. log b  1
b
3. log 1  0
b
4. log ( x n )  n logx
b
b
5. log ( xy )  log x  log y
b
b
b
x
6. log ( )  log ( x )  log ( y )
b y
b
b

1
7. log ( x )  log ( x )
n b
bn
m
8. log ( x m )  log ( x )
b
n
bn

9. Cambio de base de un sistema a otro:log x
b
log x 
a
log a
b
10. log ( x ). log ( b )  1
b
x
1
log ( x ) 
b
log ( b )
x
La ecuación con la incógnita bajo el signo de logaritmo se llama ecuación logarítmica.
Cuando se resuelve unaecuación logarítmica en la que aparecen una o varias
expresiones de la forma
log [ f ( x )]
b
1) Primero se debe encontrar el universo de valor de la variable, por lo cual se debe
considerar lassiguientes condiciones:
1

MATEMÁTICA BÁSICA - Ciclo 2015-2

a) Base sea positiva y diferente de uno, es decir: b  0  b  1
b) f ( x )  0
Luego el universo de la ecuación será: U  (b  0  b  1)  ( f (x )  0)
2) Utilizar las propiedades de logaritmos
3) Aplicar que log f ( x )  L  b L  f ( x )
b
4) Resolver la ecuación resultante.
Ejemplo:
1) log 12  3 log
4  log 6  4
x
x
x2

 U  0, 1

x  0  x 1

1°)
2°)

3° )

3
log 12  log 4  log 6  4
(por prop. 7)
x
x
x
2
log 12  log 43 / 2  log 6  4
x
x
x
 12.6 
log x  3 / 2   4
4 
log 9  4
x
4
x 9

x2  3

4° )
x2 

 3

20

x  3 x  3   0
x 



3

x 

3

x   3 U
Pero
Por lo tanto C.S = { 3 }

EJERCICIOS PROPUESTOS
Resuelve cada ecuación logarítmica. Cuando lo consideras apropiado, utiliza una
calculadora.Si la respuesta es irracional, redondea la respuesta al centésimo más
cercano.
1. 7 x  50
2. 4 x1  20
3. 3x  4  6 x
4. log 2  x  1  4
3

5. log  3x  2   log 9  log  x  5 
6....