2015 2005 2014 20FM 20Hoja 20No 201

E SCUELA P OLITÉCNICA N ACIONAL
D EPARTAMENTO DE M ATEMÁTICAS
F UNDAMENTOS DE LA M ATEMÁTICA
H OJA DE EJERCICIOS N O . 1
20 DEMAYO DE 2015

1. Conjeture y demuestre por inducción una fórmula para la suma
n

1

∑ j ( j + 1) .

j =1

2. Demuestre que
2

√n+1−

√

√
√
1
n < √ <2
n− n−1
n

es verdadera para todo n ≥ 1.

3. Si x ∈ R y x > 1, demuestre que

x < xn

para todo n ≥ 2. Y six ∈ (0, 1), pruebe que
xn < x
para todo n ≥ 2.

4. Demuestre que para todo n ≥ 11, la desigualdad
n2 − n
n−2 <
12
es verdadera.5. Demuestre que para todo n > 3, se verifica la desigualdad
2n < n!.
6. Mediante inducción, se define la siguiente sucesión:
(a)ϕ0 = 0;
(b) ϕ1 = 1; y
(c) ϕn = ϕn−1 + ϕn−2 para todo n ≥ 2.

Demuestre que para todo n ≥ 1, se verifica la igualdad
n

∑ ϕ2j =ϕn × ϕn+1.

j =0

También pruebe que para todo n ∈ N, se verifica
ϕn ≤
7. Para cada n ≥ 2, se define

5
3

Hn = 1 +

n

.

1
n

yH1 = 1.
Demuestre que para todo n ≥ 1, se tiene la desigualdad
H2n ≤ 1 + n.
8. Si 0 ≤ k ≤ n, el coeficiente binomial
n
k

n
k

=se define por

n!
.
k1(n − k)1

Demuestre que:
(a)

n
k

=

n
.
n−k

(b)

n
k

=

n−1
k

+

n−1
.
k−1

9. Mediante inducción,demuestre la fórmula del binomio de Newton.
10. Encuentre la suma

n cifras

1 + 11 + 111 + · · · + 111 · · · 1
para todo n ≥ 1.