20a
Páginas: 25 (6016 palabras)
Publicado: 11 de abril de 2015
Álgebra
2012
VII. Estructuras Algebraicas
Objetivo
Se analizarán las operaciones binarias y sus propiedades dentro de una estructura algebraica.
Definición de operación binaria
Operaciones como la suma, resta, multiplicación o división de números son consideradas
operaciones binarias, ya que asocian a un par de números con un resultado. En general, una
operación binaria tiene doscaracterísticas esenciales:
•
•
Se aplica a un par de elementos con una naturaleza determinada.
Asocia a dicho par con otro único elemento de la misma naturaleza determinada; la
asociación se realiza por medio de un criterio definido.
En forma general, una operación binaria definida en un conjunto S no vacío es una función 𝑆 × 𝑆
que relaciona un par de elementos (𝑎, 𝑏) ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆 con una imagen 𝑐 ∈ 𝑆.Ejemplo 7.1. Si se considera al conjunto de los números racionales y la suma, se tendrá que dicha
operación asocia a un par de números racionales otro único número racional; es decir, para el par
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
de números racionales � , �, existe un único número denotado como + que se conoce como
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
la suma de y . El criterio para obtener la suma de dos números racionales es
𝑎 𝑐 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
+ =𝑏𝑑
𝑏 𝑑
Además de las operaciones tradicionales, es posible expresar otras operaciones binarias.
Ejemplo 7.2. La tabla 7.1 especifica la operación binaria AND, que establece una operación lógica
utilizada en la electrónica y la computación
·
0
1
0
0
0
0
1
1
Tabla 7.1. Operación AND.
En este caso, el criterio que se establece para realizar la operación es la misma tabla, y el conjunto
sobreel cual se aplica es {0, 1}; en este caso se tendría:
0·1=0
1·1=1
126
Elaboró: Ing. Aldo Jiménez Arteaga
1·0=0
0·0=0
Álgebra
2012
Que son los resultados que la operación puede asignar.
Las operaciones binarias también pueden definirse por medio de reglas de correspondencia, y
haciendo uso de las operaciones binarias tradicionales.
Ejemplo 7.3. Sea la siguiente operación binaria
𝑥 ‡ 𝑦 = 𝑥 𝑦∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ
Se puede obtener un resultado para la pareja (−1, 6):
Cuyo resultado es 1.
−1 ‡ 6 = (−1)6
Propiedades de las operaciones binarias
Cuando un conjunto tiene definida una operación binaria se puede formar un sistema algebraico
que posee una estructura definida, la cual está ligada a las diferentes propiedades que posea la
operación binaria.
Los niveles y diferentes tipos de estructurasalgebraicas están sujetos a la naturaleza de las
propiedades que se cumplen para una operación en un conjunto dado. Así, las estructuras de
grupo, anillo y campo se diferencian por el número de operaciones y las propiedades que éstas
cumplen en un conjunto numérico dado.
La primera de estas propiedades es inherente al concepto de operación binaria: a cada par de
elementos de cierta naturaleza sele asigna un resultado de ésa misma naturaleza.
Ejemplo 7.4. Si se aplica la suma a los números naturales, el resultado será otro número natural:
𝑚+𝑛=𝑝
∀ 𝑚, 𝑛, 𝑝 ∈ ℕ
Si se tuviesen los números naturales 3 y 4, el resultado de su suma es 7, otro número natural.
Esto quiere decir que una operación binaria es cerrada; o sea, una operación definida en un
conjunto S da como resultado un elemento deese conjunto S.
Cerradura
Si el resultado de aplicar una operación binaria (∗) está definido en un conjunto S, entonces se
dice que S es cerrado con respecto a dicha operación binaria; es decir,
𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝑆,
∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆
Ejemplo 7.5. Sea la operación binaria 𝑥 ‡ 𝑦 = 𝑥 𝑦 ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ. Se obtiene un resultado que puede o
no pertenecer a los números enteros. Si el operando y fuese mayor a cero, elresultado es un
número entero; por ejemplo, (−2,3) arrojaría el siguiente resultado:
127
−2 ‡ 3 = (−2)−3
Elaboró: Ing. Aldo Jiménez Arteaga
Álgebra
2012
Que es −8 ∈ ℤ. En cambio si la pareja a operar fuese (3, −2), el resultado sería
3 ‡ −2 = (−3)−2
1
9
Que es el número fraccionario ∉ ℤ, ya que es un número racional; por lo tanto, la operación (‡)
no es cerrada para el conjunto de los...
2012
VII. Estructuras Algebraicas
Objetivo
Se analizarán las operaciones binarias y sus propiedades dentro de una estructura algebraica.
Definición de operación binaria
Operaciones como la suma, resta, multiplicación o división de números son consideradas
operaciones binarias, ya que asocian a un par de números con un resultado. En general, una
operación binaria tiene doscaracterísticas esenciales:
•
•
Se aplica a un par de elementos con una naturaleza determinada.
Asocia a dicho par con otro único elemento de la misma naturaleza determinada; la
asociación se realiza por medio de un criterio definido.
En forma general, una operación binaria definida en un conjunto S no vacío es una función 𝑆 × 𝑆
que relaciona un par de elementos (𝑎, 𝑏) ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆 con una imagen 𝑐 ∈ 𝑆.Ejemplo 7.1. Si se considera al conjunto de los números racionales y la suma, se tendrá que dicha
operación asocia a un par de números racionales otro único número racional; es decir, para el par
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
de números racionales � , �, existe un único número denotado como + que se conoce como
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
la suma de y . El criterio para obtener la suma de dos números racionales es
𝑎 𝑐 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
+ =𝑏𝑑
𝑏 𝑑
Además de las operaciones tradicionales, es posible expresar otras operaciones binarias.
Ejemplo 7.2. La tabla 7.1 especifica la operación binaria AND, que establece una operación lógica
utilizada en la electrónica y la computación
·
0
1
0
0
0
0
1
1
Tabla 7.1. Operación AND.
En este caso, el criterio que se establece para realizar la operación es la misma tabla, y el conjunto
sobreel cual se aplica es {0, 1}; en este caso se tendría:
0·1=0
1·1=1
126
Elaboró: Ing. Aldo Jiménez Arteaga
1·0=0
0·0=0
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Que son los resultados que la operación puede asignar.
Las operaciones binarias también pueden definirse por medio de reglas de correspondencia, y
haciendo uso de las operaciones binarias tradicionales.
Ejemplo 7.3. Sea la siguiente operación binaria
𝑥 ‡ 𝑦 = 𝑥 𝑦∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ
Se puede obtener un resultado para la pareja (−1, 6):
Cuyo resultado es 1.
−1 ‡ 6 = (−1)6
Propiedades de las operaciones binarias
Cuando un conjunto tiene definida una operación binaria se puede formar un sistema algebraico
que posee una estructura definida, la cual está ligada a las diferentes propiedades que posea la
operación binaria.
Los niveles y diferentes tipos de estructurasalgebraicas están sujetos a la naturaleza de las
propiedades que se cumplen para una operación en un conjunto dado. Así, las estructuras de
grupo, anillo y campo se diferencian por el número de operaciones y las propiedades que éstas
cumplen en un conjunto numérico dado.
La primera de estas propiedades es inherente al concepto de operación binaria: a cada par de
elementos de cierta naturaleza sele asigna un resultado de ésa misma naturaleza.
Ejemplo 7.4. Si se aplica la suma a los números naturales, el resultado será otro número natural:
𝑚+𝑛=𝑝
∀ 𝑚, 𝑛, 𝑝 ∈ ℕ
Si se tuviesen los números naturales 3 y 4, el resultado de su suma es 7, otro número natural.
Esto quiere decir que una operación binaria es cerrada; o sea, una operación definida en un
conjunto S da como resultado un elemento deese conjunto S.
Cerradura
Si el resultado de aplicar una operación binaria (∗) está definido en un conjunto S, entonces se
dice que S es cerrado con respecto a dicha operación binaria; es decir,
𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝑆,
∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆
Ejemplo 7.5. Sea la operación binaria 𝑥 ‡ 𝑦 = 𝑥 𝑦 ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ. Se obtiene un resultado que puede o
no pertenecer a los números enteros. Si el operando y fuese mayor a cero, elresultado es un
número entero; por ejemplo, (−2,3) arrojaría el siguiente resultado:
127
−2 ‡ 3 = (−2)−3
Elaboró: Ing. Aldo Jiménez Arteaga
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Que es −8 ∈ ℤ. En cambio si la pareja a operar fuese (3, −2), el resultado sería
3 ‡ −2 = (−3)−2
1
9
Que es el número fraccionario ∉ ℤ, ya que es un número racional; por lo tanto, la operación (‡)
no es cerrada para el conjunto de los...
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