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Teorema de Gauss
Jesús Enrique Escalante Martínez1
1 Facultad

de Ingeniería Mecánica Eléctrica
Universidad Veracruzana

Matemáticas Aplicadas a la Ingeniería
5 de Julio 2013

Enrique Escalante (FIME - UV)

Teorema de Gauss

Mat Apli Ing

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Teorema de Gauss
Considere C una curva cerrada simple y suave a trozos del plano xy.
Suponga que una ecuación vectorial de C es
R(s) = xˆi + yˆj
con x= f (s) y y = g(s), donde s unidades es la longitud de arco medida en
el sentido positivo a partir de un punto particular P0 de C hasta un punto P
de C. Entonces si T (s) es el vector tangente unitario de C en P ,
T (s) = Ds R(s). Así,
T (s) =

dx ˆ dy ˆ
i+
j
ds
ds

El vector normal N (s) definido por
dy ˆ dx ˆ
i−
j
ds
ds
es un vector normal unitario de C en P .
N (s) =

Enrique Escalante (FIME -UV)

Teorema de Gauss

Mat Apli Ing

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Este vector normal unitario se ha elegido en
lugar de su valor negativo debido a que cuando
el sentido en que se recorre C es contrario a las
manecillas del reloj, N (s) apuntará hacia afuera
de la región R limitada por C. A este vector se le
denomina vector normal saliente unitario. Ver
Figura 1. Sea
F (x, y) = M (x, y)ˆi + N (x, y)ˆj
Figura:Vectores
tangente y normal
unitarios a C en P .

Enrique Escalante (FIME - UV)

donde M y N satisfacen la hipótesis del teorema
de Green.

Teorema de Gauss

Mat Apli Ing

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Como
F (x, y) · N (s) ds = [M (x, y)ˆi + N (x, y)ˆj] ·

dy ˆ dx ˆ
i−
j
ds
ds

ds

= M (x, y) dy − N (x, y) dx
entonces
F (x, y) · N (s) ds =
C

−N (x, y) dx + M (x, y) dy
C

Al aplicar el teorema de Green a la integral de líneadel miembro
derecho de esta ecuación se obtiene
∂
∂M
−
(−N ) dA
F (x, y) · N (s) ds =
∂x
∂y
C
R
∂M
∂N
=
+
dA
∂x
∂y
R
=

divF dA
R

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Teorema de Gauss

Mat Apli Ing

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Teorema de la divergencia de Gauss en el plano
Considere las funciones M y N , la curva C y la región R como se
definieron en el teorema de Green. Si
F (x, y) = M (x, y)ˆi + N (x, y)ˆj
y N (s) esel vector normal saliente unitario de C en P , donde s
unidades es la longitud de arco medida en el sentido contrario al giro
de las manecillas del reloj desde un punto particular P0 de C hasta P ,
entonces
F · N ds =
divF dA
C

Enrique Escalante (FIME - UV)

R

Teorema de Gauss

Mat Apli Ing

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Teorema de la divergencia de gauss
Sean M , N y R funciones de las tres variables x, y y z ysuponga que
tienen primeras derivadas parciales continuas en una bola abierta B
de R3 . Sea S una superficie cerrada y suave a trozos contenida en B y
sea E la región limitada por S. Si
F (x, y, z) = M (x, y, z)ˆi + N (x, y, z)ˆj + R(x, y, z)kˆ
y n es un vector normal saliente unitario de S, entonces
F · n dσ =
S

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divF dV
E

Teorema de Gauss

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6 / 15Interpretación del teorema de Gauss

El teorema afirma que el flujo de F a través de la frontera S de una
región E de R3 , denotado por:
F · n dσ
S

es igual a la integral triple de la divergencia de F sobre E, denotada
por:
divF dV
E

Enrique Escalante (FIME - UV)

Teorema de Gauss

Mat Apli Ing

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Ejemplo. Teorema de la divergencia de Gauss
F · dS, donde:

Evaluar
S

2
F (x, y, z) = xyˆi + (y2 + exz )ˆj + sin (xy)kˆ

y S es la superficie de la región E limitada por el cilindro parabólico
z = 1 − x2 y los planos z = 0, y = 0 y y + z = 2. Ver Figura 2

Figura: Región E con superficie S.
Enrique Escalante (FIME - UV)

Teorema de Gauss

Mat Apli Ing

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Sería extremadamente difícil evaluar directamente la integral de superficie
dada. Tendríamos que evaluar cuatro integrales desuperficie
correspondientes a las cuatro partes de S.
Además, la divergencia de F es mucho menos complicada que F , de hecho:

divF

=
=

2
∂ 2
∂
∂
(xy) +
(y + exz ) +
(sin xy)
∂x
∂y
∂z
y + 2y = 3y

Por tanto, usando el teorema de la divergencia para transformar la integral de
superficie dada en una integral triple. Entonces, observe que la región E se
puede expresar como:
E = {(x, y, z)| − 1 ≤ x ≤...