21_Introduccion_a_los_Limites

L ÍMITES

Competencias a desarrollar
- Entiende el concepto de límite.
- Calcula el límite (en caso sea posible) de funciones reales
de variable real.

Idea de Límite
Límites

Ejemplos

Examinemosen la función 𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥
e
investiguemos: ¿qué sucede con 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a
3?
𝑥 tiende a 3 por la izquierda ⟶
lim−(1 + 𝑥)

𝑥
𝑓(𝑥) = 1 + 𝑥

⟵ 𝑥 tiende a 3 por la derecha
lim+(1 + 𝑥)

𝑥→3

2.92.99

2.999

2.9999

𝑥→3

3

3.0001

3.001

Se observa que:
lim (1 + 𝑥) = 4

𝑥→3

ya que
lim− (1 + 𝑥) = lim+(1 + 𝑥) = 4

𝑥→3

𝑥→3

3.01

3.1

Idea de Límite
Límites

Ejemplos

Con una tabla estime

𝑥2− 4
lim
𝑥→2 𝑥 − 2

Idea de Límite
Límites

Ejemplos

Si 𝒇(𝒙) tiende a un número 𝑳 cuando 𝒙 tiende (pero no
es igual) a 𝒂 desde ambos lados, se dice que el límite de
𝒇(𝒙) es 𝑳 cuando 𝒙 ⟶ 𝒂 (“𝒙”tiende a 𝒂) y es escribe
lim 𝑓 𝑥 = 𝐿
𝑥→𝑎

Si 𝑓(𝑥) no tiende a un solo número fijo cuando 𝑥 tiende
a 𝑎 desde ambos lados, se dice que 𝑓(𝑥) no tiene límite
cuando 𝑥 ⟶ 𝑎, o que
lim 𝑓 𝑥
𝐍𝐨 𝐞𝐱𝐢𝐬𝐭𝐞
𝑥→𝑎

Ejemplo1
Dada la gráfica de la función 𝑓
Límites

Ejemplos

Determine (en caso exista)
(a) lim− 𝑔(𝑥) =
(b) lim+ 𝑔(𝑥) =
𝑥→1

(c) lim 𝑔(𝑥) =
𝑥→2

𝑥→1

(d) lim 𝑔(𝑥) =
𝑥→3

(c) lim 𝑔(𝑥) =
𝑥→1

Ejemplo 2
Dadala gráfica de la función 𝑓
Límites

Ejemplos

Determine (en caso exista)
(a) lim 𝑓(𝑡)
(b) lim 𝑓(𝑡)

(c) lim− 𝑓(𝑡)

(d) lim+ 𝑓(𝑡)

(f) 𝑓(0)

𝑡→−2
𝑡→0

(g)

lim 𝑓(𝑡)

𝑡→−1 2

𝑡→−1

(e) lim 𝑓(𝑡)
𝑡→0

(h)lim 𝑓(𝑡)
𝑡→1

𝑡→0

Propiedades algebraicas de los límites
Si lim 𝑓(𝑥) y lim 𝑔(𝑥) existen, entonces
Límites

Ejemplos

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

a) lim 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 = lim 𝑓 𝑥 ± lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
b) lim 𝑘 ∙ 𝑓 𝑥 = 𝑘 ∙lim 𝑓 𝑥
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
c) lim 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 = lim 𝑓 𝑥 ∙ lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑎

d)

𝑓 𝑥
lim
𝑥→𝑎 𝑔 𝑥

e) lim 𝑓 𝑥
𝑥→𝑎

=

lim 𝑓 𝑥

𝑥→𝑎

lim 𝑔(𝑥)

𝑥→𝑎

si lim 𝑔(𝑥) ≠ 0

𝑥→𝑎

𝑝

= lim 𝑓 𝑥
𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎
𝑝

si existe lim 𝑓 𝑥𝑥→𝑎

𝑝

Límites

Ejemplos

Límites de polinomios y funciones racionales
Si 𝑝(𝑥) y 𝑞(𝑥) son polinomios, entonces
a) lim 𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑎)
𝑥→𝑎

b)

𝑝 𝑥
lim
𝑥→𝑎 𝑞 𝑥

=

lim 𝑝 𝑥

𝑥→𝑎

lim 𝑞(𝑥)

𝑥→𝑎

si lim...