21_Una_Mirada_previa_al_Calculo_L 2

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1.1

CAPÍTULO 1

Límites y sus propiedades

Una mirada previa al cálculo
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Comprender qué es el cálculo y cómo se compara con el precálculo.
Comprender que el problema de la recta tangente es básico para el cálculo.
Comprender que el problema del área también es básico para el cálculo.

¿Qué es el cálculo?
AYUDA DE ESTUDIO A medida que
vayamos progresando en este curso,CONVIENEªRECORDARªQUEªELªAPRENDIZAJEª
del cálculo es sólo uno de sus fines.
Su objetivo más importante es aprender
AªUTILIZARªELªCÈLCULOªPARAªMODELARªYª
resolver problemas reales. En seguida
se presentan algunas estrategias de
resolución de problemas que pueden
ayudar.

sª #ERCIORARSEªDEªENTENDERªLAªPREGUNTAª
¿Cuáles son los datos? ¿Qué se le
pide encontrar?
sª #ONCEBIRªUNªPLANª%XISTENªMUCHOSªMÏTODOSªQUEªSEªPUEDENªUTILIZARª
hacer un esquema, resolver un problema sencillo, trabajar hacia atrás,
dibujar un diagrama, usar recursos
tecnológicos y muchos otros.
sª %JECUTARªELªPLANª!SEGURARSEªDEªQUEª
responde la pregunta. Enunciar la
respuesta en palabras. Por ejemPLOªENªVEZªDEªESCRIBIRªLAªRESPUESTAª
como x 4.6, sería mejor escribir
h%LªÈREAªDEªLAªZONAªESªªMETROSª
cuadrados”.
sª2EVISARªELªTRABAJOªz4IENEªSENTIDOªLAª
respuesta? ¿Existe alguna forma de
contrastarla?

El cálculo es la matemática de los cambios (velocidades y aceleraciones). También son objeto
del cálculo rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco, centroides,
curvaturas y una gran variedad de conceptos que han permitido a científicos, ingenieros y
economistas elaborar modelos para situaciones de la vida real.
Aunquelas matemáticas previas al cálculo también tratan con velocidades, aceleraciones, rectas tangentes, pendientes y demás, existe una diferencia fundamental entre ellas
y el cálculo. Mientras que las primeras son más estáticas, el cálculo es más dinámico. He
aquí algunos ejemplos.
sª

sª
sª
sª

,ASª MATEMÈTICASª PREVIASª ALª CÈLCULOª PERMITENª ANALIZARª UNª OBJETOª QUEª SEª MUEVEª CONªVELOCIDADªCONSTANTEª3INªEMBARGOªPARAªANALIZARªLAªVELOCIDADªDEªUNªOBJETOªSOMETIDOªAª
aceleración es necesario recurrir al cálculo.
,ASªMATEMÈTICASªPREVIASªALªCÈLCULOªPERMITENªANALIZARªLAªPENDIENTEªDEªUNAªRECTAªPEROª
PARAªANALIZARªLAªPENDIENTEªDEªUNAªCURVAªESªNECESARIOªELªCÈLCULO
,ASªMATEMÈTICASªPREVIASªALªCÈLCULOªPERMITENªANALIZARªLAªCURVATURAªCONSTANTEªDEªUNªCÓRCULOªPEROªPARAªANALIZARªLAªCURVATURAªVARIABLEªDEªUNAªCURVAªGENERALªESªNECESARIOªELªCÈLCULO
,ASªMATEMÈTICASªPREVIASªALªCÈLCULOªPERMITENªANALIZARªELªÈREAªDEªUNªRECTÈNGULOªPEROª
PARAªANALIZARªELªÈREAªBAJOªUNAªCURVAªGENERALªESªNECESARIOªELªCÈLCULO

Cada una de estas situaciones implica la misma estrategia general: la reformulación de
las matemáticas previas al cálculo a través de un proceso de límite. De tal modo, una manera
de responder a lapregunta “¿qué es el cálculo?” consiste en decir que el cálculo es una
“máquina de límites” que funciona en tres etapas. La primera la constituyen las matemáticas
previas al cálculo, con nociones como la pendiente de una recta o el área de un rectángulo.
La segunda es el proceso de límite, y la tercera es la nueva formulación propia del cálculo,
en términos de derivadas e integrales.

Matemáticasprevias al cálculo

Proceso
de límite

Cálculo

Por desgracia, algunos estudiantes tratan de aprender cálculo como si se tratara de una
SIMPLEªRECOPILACIØNªDEªFØRMULASªNUEVASª3IªSEªREDUCEªELªESTUDIOªDELªCÈLCULOªAªLAªMEMORIZACIØNª
de las fórmulas de derivación y de integración, su comprensión será deficiente, el estudiante
PERDERȪCONlANZAªENªSÓªMISMOªYªNOªOBTENDRȪSATISFACCIØN
En las dos páginassiguientes se presentan algunos conceptos familiares del precálculo,
listados junto con sus contrapartes del cálculo. A lo largo del texto se debe recordar que
ELªOBJETIVOªESªAPRENDERªAªUTILIZARªLASªFØRMULASªYªTÏCNICASªDELªPRECÈLCULOªCOMOªFUNDAMENTOª
PARAª PRODUCIRª LASª FØRMULASª Yª TÏCNICASª MÈSª GENERALESª DELª CÈLCULOª 1UIZÈSª ALGUNASª DEª LASª
“viejas fórmulas” de las páginas...