210 FuncionImplicitaInversa

Univ. de Alcal´
a de Henares
C´
alculo. Segundo parcial.

Ingenier´ıa de Telecomunicaci´
on
Curso 2004-2005

Teoremas de la funci´
on impl´ıcita y de la funci´
on inversa
1.
1.1.

El teorema de la funci´
on impl´ıcita
Ejemplos preliminares

El teorema de la funci´on impl´ıcita aborda la cuesti´on general de la dependencia entre variables
ligadas por una ecuaci´on, que ahora vamos a describirinformalmente en el caso de dos variables:
supongamos que tenemos una relaci´on entre las variables x e y, que podemos escribir en la forma
de una ecuaci´on:
F (x, y) = 0
donde F : R2 → R es una funci´on escalar. Entonces, fijado un valor x0 , al sustituirlo en esa
relaci´on obtenemos una ecuaci´on para y. Resolviendo esta ecuaci´on cuando esto sea posible,
obtenemos un valor (o quiz´a varios valores)y0 , que dependen del valor x0 que hemos fijado
arbitrariamente al principio. De esa forma se establece una dependencia en la que, a cada valor
x0 , le corresponde un valor y0 : la variable y depende de x. Por tanto podemos pensar que la
ecuaci´on determina una funci´on y(x), que se obtiene “despejando y” como funci´on de x:
F (x, y) = 0 → y = f (x)
Ejemplo 1. La ecuaci´
on 3x − 2y = 4 se puedeescribir en la forma F (x, y) = 0, usando una
funci´
on :
F (x, y) = 3x − 2y − 4
En cualquier caso esta ecuaci´
on permite despejar:
y(x) =

3x − 4
2

En este caso es muy f´
acil obtener la relaci´
on entre x e y. Supongamos ahora que nos dan la
ecuaci´
on:
ex + x = sen(y − 3) + 2y − 6
De nuevo esta ecuaci´
on es de la forma F (x, y) = 0 para
F (x, y) = ex + x − sen(y − 3) − 2y + 6
Como muestranambos ejemplos, la forma F (x, y) = 0 es completamente general, y no limita el
tipo de ecuaciones que podemos considerar.
Seguramente, en el segundo ejemplo el lector no est´
a ya tan dispuesto a intentar despejar y
como funci´
on de x. Es m´
as, puede que incluso se plantee la duda de si existe la soluci´
on y sea
cual sea el valor de x. Podemos despejar esa duda con esta figura

1

en la quehemos representado las curvas z = ex + x y z = sen(y − 3) + 2y − 6. Como puede verse,
la correspondencia z → x es biyectiva, y lo mismo sucede con la correspondencia y → z. Por lo
tanto, para cada x hay un valor de y y s´
olo uno: queda definida una funci´
on y(x). ¿Es creciente
esta funci´
on? ¿Es derivable? ¿Cu´
ales son sus m´
aximos y m´ınimos? Ese es el tipo de preguntas
que pretendemos aprendera resolver.
Como muestra el ejemplo, las funciones y(x) que estamos buscando no vienen dadas por una
f´ormula expl´ıcita que nos indique directamente las operaciones que debemos realizar con x para
obtener el valor de y. Por eso empleamos el nombre “funci´on impl´ıcita” para referirnos a una de
estas funciones. Antes de dar la definici´on, profundicemos un poco en el ejemplo anterior.
Ejemplo 2.(continuaci´
on del anterior) Sea y(x) la funci´
on impl´ıcita definida por la ecuaci´
on
ex + x − sen(y − 3) − 2y + 6 = 0
del ejemplo anterior. Entonces, naturalmente, sea cual sea x, debe cumplirse:
ex + x − sen(y(x) − 3) − 2y(x) + 6 = 0
Si usamos la funci´
on
F (x, y) = ex + x − sen(y − 3) − 2y + 6
Entonces esto se traduce en que ha de ser:
F (x, y(x)) = 0
Obs´ervese que F : R2 → R es unafunci´
on de clase C ∞ . Pues bien, no sabemos todav´ıa nada
sobre la funci´
on y(x). Pero supongamos que y(x) resulta ser una funci´
on derivable. Entonces,
si consideramos la funci´
on compuesta h(x) = F (x, y(x)), ser´ıa una funci´
on derivable (regla de
la cadena). Por otro lado, la expresi´
on anterior asegura que esta funci´
on h(x) es la funci´
on
constante 0. Su derivada por lo tanto es cero; yseg´
un la regla de la cadena obtenemos:
0=

dh
∂F
∂F dy
=
+
dx
∂x
∂y dx
2

El descubrimiento que hemos hecho es que podemos despejar:
∂F
dy
ex + 1
= − ∂x = −
∂F
dx
cos(y − 3) − 2
∂y
∂F
= cos(y − 3) − 2 = 0 (lo cual sucede siempre ¿verdad?). O sea, que aunque
∂y
no sabemos escribir una expresi´
on expl´ıcita para y(x), s´ı podemos calcular su derivada en un
punto (x0 , y(x0 )) dado. De esa...