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T1 x11 ! x1n1

T2 x21 ! x2n2

… … "

Tr xr1 !

… x rnr

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE LA VARIANZA

José Luis Vicente Villardón Departamento de Estadística

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ANALISIS DE LA VARIANZA
DISEÑO DE UNA VIA
Disponemos de r poblaciones, generalmente correspondientes a r tratamientos experimentales. Cada uno de los tratamientos Ti, (i=1, …, r) se supone que tiene distribuciónnormal con media µi y varianza σ2, común a todos ellos, es decir se trata de poblaciones normales y homoscedásticas. De cada una de las poblaciones (o tratamientos), tomamos una muestra de tamaño ni. Las observaciones obtenidas se pueden recoger en una tabla de la forma

T1 x11 ! x1n1

T2 x21 ! x2n2

… Tr … xr1 " ! … x rnr

es decir xij es la observación j del grupo experimental i. Llamaosx1,…, xr a las medias muestrales de los grupos y media de todas las observaciones.

x

a la

Cuando se trata de un experimento diseñado, es decir, cuando se trata de la aplicación de r tratamientos a un conjunto de unidades experimentales, estas deben seleccionarse para que sean homogéneas, de forma que no se introduzcan factores de variación distintos del que se desea controlar. Laasignación de los tratamientos a cada una de las unidades debe hacerse al azar. Es lo que se conoce como diseño “completamente al azar”. El modelo matemático subyacente a este tipo de diseño es

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xij = µi + ! ij xij = µ + ( µ i " µ ) + ! ij xij = µ + # i + !ij
donde µi = µ + ! i es la cantidad que depende del tratamiento usado (descompuesta en una media global y un efecto del tratamiento) y !ij esla cantidad que depende solamente de la unidad experimental y que se identifica con el error experimental. La hipótesis de que los distintos tratamientos no producen ningún efecto (o la de que las medias de todas las poblaciones son iguales) se contrasta mediante el análisis de la varianza de una vía, comparando la variabilidad entre grupos con la variabilidad dentro de los grupos.

H0 : µ1 = …= µr = µ Ha : !i, j / µ i " µ j
El análisis de la varianza se basa en la descomposición de la variabilidad total en dos partes, una parte debida a la variabilidad entre las distintas poblaciones o tratamientos (variabilidad entre grupos o variabilidad explicada por el diseño) y otra parte que puede considerarse como la variabilidad intrínseca de las observaciones (variabilidad dentro de losgrupos o residual).

Q = QE + QR
La variabilidad entre grupos

QE = " ni ( xi ! x ) 2
i=1
mide la discrepancia entre los grupos y la media global, de forma que si no hay diferencias entre ellos (la hipótesis nula es cierta) obtendremos variabilidades pequeñas. Si, por el contrario, la

r

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hipótesis nula es falsa, cabe esperar que la variabilidad entre grupos sea grande. Lavariabilidad dentro de los grupos

QR = " " ( xij ! xi )2
i=1 j=1
mide la variabilidad intrínseca de las observaciones, es decir, si el experimento está bien diseñado y no se incluyen factores de variación distintos al estudiado, debe ser error puramente aleatorio producido como resultado de la variabilidad biológica del material experimental. El contraste del Análisis de la varianza se basa en lacomparación de la variabilidad entre y la variabilidad dentro, rechazaremos la hipótesis nula siempre que la variabilidad “entre” sea grande, pero utilizando como patrón de comparación la variabilidad “dentro”. Es decir, aceptaremos un efecto de los tratamientos siempre que estos produzcan mayores diferencias en las unidades experimentales que las que habría sin la aplicación de los mismos. Antes deproceder a la comparación hemos de dividir las sumas de cuadrados por sus correspondientes grados de libertad, relacionados con el número de observaciones con las que se realiza el cálculo. De esta forma obtenemos los cuadrados medios o estimadores de las variabilidades. La información completa se resume en la tabla siguiente. Es la que se conoce como tabla de ANOVA y resume toda la información...