21circulo_y_recta

21. C´ırculo y recta

Matem´aticas II, 2012-II

21. C´ırculo y recta
¿Por qu´
e el c´ırculo y la recta son tan importantes?
Los dos objetos geom´etricos m´as importantes –aparte del punto– son sin
duda la recta y el c´ırculo. La recta por ser geod´esica, es decir, la curva m´as
corta que conecta cada dos puntos de ella: si fijamos dos puntos P y Q, el
segmento recto P Q es el camino m´as cortoentre P y Q. La recta P Q es la
continuaci´on de este camino hacia ambos lados.
Geod´esicas hay en cada superficie. En la esfera, las geod´esicas son c´ırculos
mayores, es decir c´ırculos que tienen el mismo radio que la esfera misma,
o dicho de todav´ıa de otra manera, las geod´esicas son aquellos c´ırculos que
resultan al intersectar la esfera con un plano que pasa por el centro. La
siguienteilustraci´on muestra el lado izquierdo diferentes c´ırculos mayores
que pasan por un punto y el punto antipodal (el punto opuesto).

El c´ırculo –o m´as correctamente– la circunferencia, es el lugar geom´etrico de
todos los puntos que est´an a la misma distancia, el radio, de un punto dado, el
centro. Tambi´en podemos considerar circunferencias sobre superficies que no
son planos. La ilustraci´onanterior muestra del lado derecho circunferencias
con el mismo centro en la esfera.
Las rectas y las circunferencias son los dos objetos fundamentales que nos
dicen algo sobre la medici´on de las distancias en el plano (o en la superficie
que queremos considerar).
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21. C´ırculo y recta

La ecuaci´
on de la circunferencia
Para obtener la ecuaci´on de una circunferencia(en el plano) consideramos un
punto C con las coordenadas (a, b) y otro punto P con coordenadas (x, y).
y
P (x, y)

y
|CP |

b

C(a, b)

y−s

x−a

a

x

x

La distancia |CP | entre C y P se obtiene al usar el Teorema de Pit´agoras.
Seg´
un ´este se tiene
|CP |2 = (x − a)2 + (y − b).
Si ahora fijamos la distancia |CP | = r obtenemos ya la ecuaci´on que bsucamos:
(x − a)2 + (y − b)2 = r 2
Recordamos(a, b) son las coordenadas del centro y r es el radio.

Ecuaciones de la recta
No hay una u
´ nica ecuaci´on de la recta sino hay varios.
La pendiente
Un concepto de suma importancia es la pendiente de una recta. La pendiente
es un n´
umero (o infinito, si la recta es vertical). La pendiente indica qu´e tan
inclinada es la recta. Antes de indicar c´omo se calcula la pendiente de una
rectaindicamos algunos hechos importantes:
La pendiente es cero para rectas horizontales.
La pendiente es positiva para rectas que suben hacia la derecha.
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Matem´aticas II, 2012-II

La pendiente es negativa para rectas que bajen hacia la derecha.
Ahora vemos c´omo se calcula la pendiente. Para ello se fijan dos puntos de la
recta (los que sean). Si las coordenadas de los puntos son(x1 , y1 ) y (x2 , y2 )
entonces la pendiente es
pendiente =

y2 − y1
x2 − x1

El significado geom´etrico se muestra en la siguiente ilustraci´on.
y
Q(x2 , y2 )
y2 − y1

P (x1 , y1 )
x2 − x1

x

Comentario: No importa cu´ales puntos se eligen. Para diferentes elecciones
obtenemos tri´angulos semejantes y por ello siempre la misma raz´on de los
catetos, es decir, la misma pendiente.
Ejemplo 1. Lasiguiente gr´afica muestra un ejemplo de una recta.
y
4
3
2
1
-4

-3

-2

0
-1 0
-1

x
1

2

3

4

-2

Es f´acil encontrar las coordenadas de algunos puntos que pertenecen a esta
recta: por ejemplo (0, 1) y (2, 2) son puntos de la recta. Por ello la pendiente
es
2−1
1
pendiente =
= .
2−0
2
Ahora vemos diferentes formas de ecuaciones para representar una ecuaci´on.
21-3

Matem´aticas II, 2012-II21. C´ırculo y recta

Ecuaci´
on punto-pendiente
Si p es la pendiente de una recta y (a, b) las coordenadas de uno de sus puntos
entonces para todos los puntos (x, y) de la recta se satisface
p=

y−b
x−a

de lo que se obtiene la ecuaci´on punto-pendiente de la recta:
y − b = p(x − a)
Esta ser´a la forma preferida para nosotros. Por ello presentamos las otras
formas de manera breve.
Ecuaci´
on...