22_Calculo_de_limites_de_manera_grafica_y_numerica_L
Páginas: 8 (1778 palabras)
Publicado: 18 de septiembre de 2015
48
CAPÍTULO 1
Límites y sus propiedades
Cálculo de límites de manera gráfica y numérica
1.2
■
■
■
Estimar un límite utilizando los métodos numérico y gráfico.
Aprender diferentes formas en las que un límite puede no existir.
Estudiar y utilizar la definición formal de límite.
Introducción a los límites
Suponer que se pide dibujar la gráfica de la función f dada por
x3
1
, x x 1.
x
1
e(x )
Para todos los valores distintos de x 1, es posible emplear las técnicas usuales de representación de curvas. Sin embargo, en x 1, no está claro qué esperar. Para obtener una
idea del comportamiento de la gráfica de f cerca de x 1, se pueden usar dos conjuntos de
valores de x, uno que se aproxime a 1 por la izquierda y otro que lo haga por la derecha,
como se ilustra en la tabla.
lím f(x) = 3
xm1
(1, 3)
y
3
x se aproxima a 1 por la izquierda.
2
x se aproxima a 1 por la derecha.
x
0.75
0.9
0.99
0.999
1
1.001
1.01
1.1
1.25
f x
2.313
2.710
2.970
2.997
?
3.003
3.030
3.310
3.813
3
f (x) x
1
x
1
f x se aproxima a 3.
f x se aproxima a 3.
x
2
1
1
El límite de f(x) cuando x tiende a 1 es 3
Figura 1.5
Como se muestra en la figura 1.5, lagráfica de f es una parábola con un hueco en el
punto (1, 3). A pesar de que x no puede ser igual a 1, se puede acercar arbitrariamente a 1
y, en consecuencia, f(x) se acerca a 3 de la misma manera. Utilizando la notación que se
emplea con los límites, se podría escribir
lím f x
3.
xm1
Esto se lee “el límite de f(x) cuando x se aproxima a 1 es 3”.
Este análisis conduce a una descripción informal delímite. Si f(x) se acerca arbitrariamente
a un número L cuando x se aproxima a c por cualquiera de los dos lados, entonces el límite
de f(x), cuando x se aproxima a c, es L. Esto se escribe
lím f x
L.
xmc
EXPLORACIÓN
El análisis anterior proporciona un ejemplo de cómo estimar un límite de manera numérica mediante la construcción de una tabla, o de manera gráfica, al dibujar un esquema.Calcular el siguiente límite de forma numérica al completar la tabla.
lím
xm2
x
f x
x2
3x
x
2
2
1.75
1.9
1.99
1.999
2
2.001
2.01
2.1
2.25
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Luego utilizar una herramienta de graficación para estimar el límite.
SECCIÓN 1.2
EJEMPLO 1
Cálculo de límites de manera gráfica y numérica
49
Estimación numérica de un límite
x
x
Evaluar la función f x
resultado paraestimar el límite:
x
.
lím
xm 0
x 1 1
1
1 en varios puntos cercanos a x
0 y usar el
Solución En la siguiente tabla se registran los valores de f(x) para diversos valores de x
cercanos a 0.
y
f no está definida
en x = 0.
x se aproxima a 0 por la izquierda.
f (x)
x se aproxima a 0 por la derecha.
x
x 1
1
x
0.001
0.0001
0
0.0001
0.001
0.01
1.99950
1.99995
?
2.00005
2.000502.00499
0.01
1
1.99499
f x
f(x) se aproxima a 2.
x
1
f(x) se aproxima a 2.
1
El límite de f(x) cuando x se aproxima a
0 es 2
Figura 1.6
De los datos mostrados en la tabla, se puede estimar que el límite es 2. Dicho resultado se
confirma por la gráfica de f (ver la figura 1.6).
Observar que en el ejemplo 1, la función no está definida en x 0 y aún así f(x) parece
aproximarse a un límite amedida que x se aproxima a 0. Esto ocurre con frecuencia, y es
importante percatarse de que la existencia o inexistencia de f(x) en x c no guarda relación
con la existencia del límite de f(x) cuando x se aproxima a c.
EJEMPLO 2
Cálculo de un límite
Encontrar el límite de f(x) cuando x se aproxima a 2, donde f se define como
f x
f(x)
1
1, x
2
0, x
2
2
3
lím f x
xm2
x
1.
El hechode que f(2) 0 no influye en la existencia ni en el valor del límite cuando x se
aproxima a 2. Por ejemplo, si se hubiera definido la función como
f x
El límite de f(x) cuando x se aproxima a
2 es 1
Figura 1.7
2
2.
Solución Puesto que f(x) 1 para todos los x distintos de x 2, se puede concluir que el
límite es 1, como se muestra en la figura 1.7. Por tanto, se puede escribir
y
2
1, x
0, x...
CAPÍTULO 1
Límites y sus propiedades
Cálculo de límites de manera gráfica y numérica
1.2
■
■
■
Estimar un límite utilizando los métodos numérico y gráfico.
Aprender diferentes formas en las que un límite puede no existir.
Estudiar y utilizar la definición formal de límite.
Introducción a los límites
Suponer que se pide dibujar la gráfica de la función f dada por
x3
1
, x x 1.
x
1
e(x )
Para todos los valores distintos de x 1, es posible emplear las técnicas usuales de representación de curvas. Sin embargo, en x 1, no está claro qué esperar. Para obtener una
idea del comportamiento de la gráfica de f cerca de x 1, se pueden usar dos conjuntos de
valores de x, uno que se aproxime a 1 por la izquierda y otro que lo haga por la derecha,
como se ilustra en la tabla.
lím f(x) = 3
xm1
(1, 3)
y
3
x se aproxima a 1 por la izquierda.
2
x se aproxima a 1 por la derecha.
x
0.75
0.9
0.99
0.999
1
1.001
1.01
1.1
1.25
f x
2.313
2.710
2.970
2.997
?
3.003
3.030
3.310
3.813
3
f (x) x
1
x
1
f x se aproxima a 3.
f x se aproxima a 3.
x
2
1
1
El límite de f(x) cuando x tiende a 1 es 3
Figura 1.5
Como se muestra en la figura 1.5, lagráfica de f es una parábola con un hueco en el
punto (1, 3). A pesar de que x no puede ser igual a 1, se puede acercar arbitrariamente a 1
y, en consecuencia, f(x) se acerca a 3 de la misma manera. Utilizando la notación que se
emplea con los límites, se podría escribir
lím f x
3.
xm1
Esto se lee “el límite de f(x) cuando x se aproxima a 1 es 3”.
Este análisis conduce a una descripción informal delímite. Si f(x) se acerca arbitrariamente
a un número L cuando x se aproxima a c por cualquiera de los dos lados, entonces el límite
de f(x), cuando x se aproxima a c, es L. Esto se escribe
lím f x
L.
xmc
EXPLORACIÓN
El análisis anterior proporciona un ejemplo de cómo estimar un límite de manera numérica mediante la construcción de una tabla, o de manera gráfica, al dibujar un esquema.Calcular el siguiente límite de forma numérica al completar la tabla.
lím
xm2
x
f x
x2
3x
x
2
2
1.75
1.9
1.99
1.999
2
2.001
2.01
2.1
2.25
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Luego utilizar una herramienta de graficación para estimar el límite.
SECCIÓN 1.2
EJEMPLO 1
Cálculo de límites de manera gráfica y numérica
49
Estimación numérica de un límite
x
x
Evaluar la función f x
resultado paraestimar el límite:
x
.
lím
xm 0
x 1 1
1
1 en varios puntos cercanos a x
0 y usar el
Solución En la siguiente tabla se registran los valores de f(x) para diversos valores de x
cercanos a 0.
y
f no está definida
en x = 0.
x se aproxima a 0 por la izquierda.
f (x)
x se aproxima a 0 por la derecha.
x
x 1
1
x
0.001
0.0001
0
0.0001
0.001
0.01
1.99950
1.99995
?
2.00005
2.000502.00499
0.01
1
1.99499
f x
f(x) se aproxima a 2.
x
1
f(x) se aproxima a 2.
1
El límite de f(x) cuando x se aproxima a
0 es 2
Figura 1.6
De los datos mostrados en la tabla, se puede estimar que el límite es 2. Dicho resultado se
confirma por la gráfica de f (ver la figura 1.6).
Observar que en el ejemplo 1, la función no está definida en x 0 y aún así f(x) parece
aproximarse a un límite amedida que x se aproxima a 0. Esto ocurre con frecuencia, y es
importante percatarse de que la existencia o inexistencia de f(x) en x c no guarda relación
con la existencia del límite de f(x) cuando x se aproxima a c.
EJEMPLO 2
Cálculo de un límite
Encontrar el límite de f(x) cuando x se aproxima a 2, donde f se define como
f x
f(x)
1
1, x
2
0, x
2
2
3
lím f x
xm2
x
1.
El hechode que f(2) 0 no influye en la existencia ni en el valor del límite cuando x se
aproxima a 2. Por ejemplo, si se hubiera definido la función como
f x
El límite de f(x) cuando x se aproxima a
2 es 1
Figura 1.7
2
2.
Solución Puesto que f(x) 1 para todos los x distintos de x 2, se puede concluir que el
límite es 1, como se muestra en la figura 1.7. Por tanto, se puede escribir
y
2
1, x
0, x...
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