220 DerivadasParcialesSegundasPolinomiosTaylor

Univ. de Alcal´
a de Henares
C´
alculo. Segundo parcial.

Ingenier´ıa de Telecomunicaci´
on
Curso 2004-2005

Derivadas parciales segundas. Polinomios de Taylor.
1.

Derivadas parciales segundas

En la primera parte del curso hemos visto que, para estudiar la curvatura (concavidad) de la
gr´afica de una funci´on f , es necesario emplear la derivada segunda o derivadas de orden superior
de f . Eseestudio de las derivadas superiores nos ha llevado a introducir los polinomios (y series)
de Taylor. A su vez, esto permite entre otras cosas desarrollar criterios de existencia de extremos
(m´aximos y m´ınimos). En este cap´ıtulo veremos como esas ideas se generalizan a funciones de
varias variables, dejando para el siguiente el problema de los extremos.
Vamos a empezar por definir las derivadasde orden superior de estas funciones. Las definiciones son las naturales. Empecemos con un ejemplo.
Ejemplo 1. Sea f : R2 → R dada por f (x, y) = x6 + 5xy + 8y 4 Entonces f es derivable en todo
R2 . Podemos representar sus dos derivadas parciales en un esquema como este:
∂f

= 6x5 + 5y
fff2 ∂x
f
f
f
f
ff
∂
∂x

f (x, y) = x6 + 5xy + 8y 4 ∂

XXXXX∂y
XXXX+
∂f

∂y

= 5x + 32y 3

Las dos derivadasparciales son polinomios, y por tanto derivables en todo el plano.Es decir, que
podemos calcular de nuevo las derivadas parciales de cada una de ellas, como en este esquema:
∂
∂x

hh3
hhhh

∂

30x4 =

∂f
= 6x5 + 5y
∂
VVVV∂y
∂x
6
VVVV
m
+
mmm

∂x mm
mmm
m
m
mmm
mmm

∂
∂x

∂f
∂x

5=

∂
∂y

∂f
∂x

5=

∂
∂x

∂f
∂y

f (x, y) = x6 + 5xy + 8y 4

QQQ
QQQ
∂
QQQ ∂y
QQQ
QQQ
QQ(

∂
∂x

hhh4
hhhh

∂f
= 5x + 32y 3∂
∂y
VVVV∂yV
V*

96y 2 =

1

∂
∂y

∂f
∂y

Ejemplos como ´este nos llevan a definir:
Definici´
on 2 (Derivadas parciales segundas).

Si la funci´
on f : R2 → R dada por z = f (x, y) es derivable en todos los puntos de una bola
 B(¯
 p, r) centrada en el punto p¯ = (x0 , y0 ), entonces tiene sentido hablar de las funciones derivadas
 parciales


∂f
∂f

,

∂x
∂y


 ya que se pueden calcularen todos los puntos de esa bola. Si estas derivadas parciales son a su

 vez funciones derivables en el punto p¯, entonces las derivadas parciales de esas funciones son

 las derivadas parciales segundas de f en p. Hay cuatro de estas derivadas segundas, que se

 representan con esta notaci´
on:


 2

∂ f
∂ ∂f
∂2f
∂ ∂f



=
,
=


 ∂x2

∂x ∂x
∂y∂x
∂y ∂x





∂2f
∂ ∂f
∂2f
∂∂f


=
,
=
2
∂x∂y
∂x ∂y
∂y
∂y ∂y
Observaci´
on. Estas definiciones, y la notaci´on, se extienden de forma evidente a funciones vectoriales, es decir a f : Rn → Rm . Si tenemos y¯ = f (¯
x), con x
¯ = (x1 , . . . , xn ), y¯ = (y1 , . . . , ym ) y
f = (f1 , . . . , fm ), entonces cada una de sus derivadas parciales segundas se obtiene, a partir por
∂fi
, derivando parcialmente con respecto a unavariable xk . La notaci´on habitual
ejemplo de
∂xj
es entonces:
∂ 2 fi
si es k = j
∂xk ∂xj
y
∂ 2 fi
si es k = j
∂x2j
Otra notaci´on com´
un (y a veces muy conveniente) es:
∂ 2 fi
2
= Djk
fi
∂xj ∂xk
Otras derivadas de orden superior. Por supuesto, si las derivadas segundas resultan derivables podemos repetir la definici´on anterior y obtener unas derivadas parciales terceras, etc. En
general hablaremosde la derivada parcial r-´esima (o de orden r) de f con respecto a xj1 xj2 . . . xjr
para indicar las variables con respecto a las que derivamos, y el orden en que lo hacemos. Las
notaciones m´as comunes son ´estas:
∂rf
= Djr1 ...jr f
∂xj1 . . . ∂xjr
Funciones C k y C ∞ . Una funci´on f : Rn → Rm cuyas derivadas parciales (primeras) existen
y son continuas en todos los puntos de un abierto U sedice que f es de clase C 1 en U , o que
f ∈ C 1 (U ) (a veces se dice que f es de clase 1, simplemente). De la misma forma, si todas las
2

derivadas de orden menor o igual que k son continuas en todos los puntos de U , diremos que f es
de clase C k en U , o que f ∈ C k (U ). Si f tiene derivadas parciales continuas de todos los ´ordenes
(para todo k) en todos los puntos de U diremos que f es...