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UNIVERSIDAD POLITECNICA DE PUERTO RICO
Facultad de Ciencias y Matemáticas
MATE 2320
Nombre: _____________________________________
Fecha: ______________________________________
Prof. María de los Ángeles Medina
Capítulo 8: Técnicas de Integración, Regla de L’ Hôpital e Integrales Impropios
8.5 Fracciones Parciales
Introducción
Considere la suma de fracciones
obtendremos que:

2
2
3
−
+
.
x x − 1 (x − 1)2

Si ejecutamos estas operaciones de suma

2
2
3
x+2
−
+
.
2 =
3
x x − 1 ( x − 1)
x − 2x 2 + x
Ahora, el procedimiento para ir de forma contraria donde la expresión
2
2
3
−
+
x x − 1 ( x − 1)2
fracciones parciales.
las fracciones

x+2
es dada para obtener
x − 2x 2 + x
3

no es un proceso fácil de hecho es llamado descomposición en

Descomposición en Fraciones Parciales
p(x)
p( x)
Sea R (x)=
.
se puede descomponer en fracciones parciales si q (x) se puede factorizar en
q(x)
q (x)
cualquier combinación de factores lineales, lineales repetidos, cuadráticos irreducibles, cuadráticos
irreducibles repetidos, etc. Veamos la siguiente tabla:

Prof. M. Medina

Factor en el Denominador
Factor de q(x)

Descomposición en Fracciones
Parciales

lineal

(ax + b )

A
ax + b

lineal repetido
(ax +b )2

A
B
+
ax + b (ax + b) 2

cuadrático irreducible
(ax 2 + bx + c )

Ax + B
ax 2 + bx + c

cuadrático irreducible repetido
2
(ax 2 + bx + c )

Ax + B
Cx + D
+
2
2
2
ax + bx + c (ax + bx + c )

8.5 Fracciones Parciales- Página 1

Observe que en el ejemplo expuesto:
x+2
x+2
x+2
x+2
=
=
=
2
2
x − 2x + x x(x − 2x + 1) x(x − 1)(x − 1) x(x − 1)2
3

x+2
A
B
C
+
+
2 =
x( x − 1)
x x − 1 (x − 1) 2

ladescomposición sería:

Ejemplo 1: Determine la descomposición en fracciones parciales de:
a)

b)

c)

x

(x + 1)(x − 1)

5x + 2
(x + 1)(x 2 + 1)

3x2 + 5x + 1
x 2 ( 2x + 1)(x 2 + x + 1)

2

p(x)
donde p( x) y q (x) ≠ 0 son polinomios es
q(x)
propia si el grado de p( x) es menor al grado de q (x) . Si el grado de p( x) es igual o mayor al grado de
q (x) la expresión racional es impropia.Definición: Una expresión racional de la forma R (x) =

Nota: Para hallar la descomposición en fracciones parciales de una expresión impropia R (x) primero
tenemos que utilizar división larga de polinómios y utilizar el algoritmo de la división para expresar a
residuo
R (x) como R (x) = (cociente) +
.
divisor
x2 + 5
Ejemplo 2: Determine la descomposición en fracciones parciales de 2
.
x −4
x2 + 5
9
= 1 + 22
x −4
−4
43
1x42

divisor

1
→ x2 − 4 x2 + 5

)

− ( x2 − 4)
9→

↓

a esta expresión es a la que se le busca
la descomposición en parciales

residuo

Aparte:
9
9
A
B
=
=
+
x − 4 (x + 2)(x − 2) x + 2 x − 2
2

Por lo tanto la descomposición sería:
Prof. M. Medina

x2 + 5
A
B
=1+
+
2
x −4
x+ 2 x −2
8.5 Fracciones Parciales- Página 2

Ejemplo 3: Determine la descomposición en fracciones parciales de3x 4 + x 2 − 2
=
x2 − 4

3x 4 + x 2 − 2
.
x2 − 4

€

€

Método para Descomposición en Fraciones Parciales
Considere la expresión

x+2
x − 2x 2 + x
3

Paso 1: Factorice la expresión racional completamente. Si la expresión racional es impropia utilice
división de polinomios y busque la descomposición en fracciones parciales de la expresión explicada
anteriormente.
x+2
x+2
x+ 2
=
=
2
2
x − 2x + x x(x− 2x + 1) x(x − 1) 2
3

Paso 2: Utilizando la tabla como referencia someta la descomposición en fracciones parciales de la
expresión que tiene completamente factorizada y simplificada.
x+2
A
B
C
+
+
2 =
x( x − 1)
x x − 1 (x − 1) 2
Paso 3: Multiplique por el denominador común a ambos lado de la igualdad. Observe que el
denominador común es el denominador de la expresión de la izquierda.
 x+2 A
B
C 
2
2



(
)
x
x
−
1
=
+
+
x(x − 1)
2
2
 x( x − 1) 
 x x − 1 (x − 1) 

[

]

 x+2 

 x(x − 1)2
2
 x( x − 1) 

[

]

[

=

A
2
x(x − 1)
x

[

]

+

]

B
2
x(x − 1)
x −1

[

]

+

C
2
2 x(x − 1)
(x − 1)

[

]

2

x + 2 = A(x − 1) + Bx(x − 1) + Cx

Prof. M. Medina

8.5 Fracciones Parciales- Página 3

Paso 4: Elimine los paréntesis y agrupe los términos semejantes en el...