246570368 Libro Mates Arcas 2ccss

MATEMÁTICAS APLICADAS
A LAS
CIENCIAS SOCIALES II

I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
ÍNDICE
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.

Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas equivalentes
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: Método de Gauss
Sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes indeterminados

1.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Una expresión de la forma: a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b dondex1 , x2 ... xn representan
variables, y a1 , a2 ... an , b son números reales, constituye una ecuación algebraica de
primer grado o simplemente una ecuación lineal con n incógnitas.
Las variables x1 , x2 ... xn , se denominan incógnitas; a los números a1 , a2 ... an , se les
llama coeficientes; y b recibe el nombre de término independiente. Cuando b = 0, la
ecuación se dice que es homogénea.
Asípor ejemplo:
3x1 + 5 x2 − 7 x3 = 1 constituiría una ecuación lineal con tres incógnitas.
Por otro lado, se denomina sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a un
conjunto de m ecuaciones lineales con las mismas n incógnitas, y se representaría de la
siguiente manera:

donde aij representa el coeficiente de la incógnita xi de la i-ésima ecuación.
Resolver un sistema de ecuaciones es obtenerun conjunto de valores para las
incógnitas, los cuales satisfagan simultáneamente todas las ecuaciones del sistema.
Ahora bien un sistema que carece de soluciones se dice incompatible, y en caso
contrario se dice compatible. En este caso puede suceder que el sistema tenga una única
solución o que admita infinitas soluciones, diciéndose entonces que el sistema es
compatible determinado, en elprimer caso, y compatible indeterminado en el segundo.
Esquematizando:
•

Sistemas incompatibles: sin solución

•

Sistemas compatibles: con solución
o

Determinados: con solución única

o

Indeterminados: con solución infinita

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I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1.2. SISTEMAS EQUIVALENTES
Dos sistemas de ecuaciones lineales con el mismo número de incógnitasx1 , x2 ... xn son
equivalentes si tienen las mismas soluciones, es decir, si toda solución del primero es
solución del segundo y recíprocamente.
A continuación vamos a ver las transformaciones que se pueden hacer con las
ecuaciones de un sistema para obtener otro equivalente:
•

Si multiplicamos una ecuación por un número real distinto de cero, entonces
obtenemos otro sistema equivalente aldado. Por ejemplo:
⎧3x − 2 y = 25 ⎧3x − 2 y = 25
⇒⎨
⎨
⎩ x + 5y = 10
⎩3x + 15y = 30
multiplicando la segunda ecuación por 3.

•

Si a una ecuación se le suma o resta otra ecuación del mismo sistema, resulta un
sistema equivalente al dado. Por ejemplo:
⎧3x − 2 y = 25 ⎧3x − 2 y = 25
⇒⎨
⎨
⎩ x + 5y = 10
⎩4x + 3y = 35

•

Si en un sistema una ecuación está expresada en función de otras (mediante
combinaciónlineal), dicha ecuación puede suprimirse y el sistema resultante es
equivalente al dado. Por ejemplo:
⎧x + 2 y = 3
⎧x + 2 y = 3
⎪
⎨4x + 5y = 6 ⇒ ⎨
⎩4x + 5y = 6
⎪
⎩5x + 7y = 9

1.3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:
MÉTODO DE GAUSS
Este método se basa en las propiedades de los sistemas equivalentes, y también se
conoce con el nombre de reducción, de triangulación o de cascada.
La ideaes muy simple: se intenta llegar, a partir del sistema de partida, y mediante
pasos sucesivos a un sistema equivalente al dado, que recibe el nombre de escalonado,
con la condición de que cada ecuación contenga una incógnita menos que la anterior,
por lo que tendría la forma:

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I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Se utiliza para sistemas compatiblesdeterminados.
Al finalizar el proceso, podemos llegar a uno de los siguientes casos:

a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b SIST. COMPATIBLE DETERMINADO:
I.
Una sola solución

II.

III

SIST. COMPATIBLE INDETERMINADO: Infinitas soluciones

SIST. INCOMPATIBLE: Sistema sin solución

.

Ejemplo 1.

Para simplificar, utilizaremos únicamente los coeficientes y los expresaremos de la
siguiente forma:

2

3

-7...